基本介紹
- 中文名：數學分析（二）
- 類別：慕課
- 提供院校：華東師範大學
- 授課老師：柴俊、吳畏、龐學誠、戴浩暉、王麗萍
課程簡介,課程大綱,參考教材,
課程簡介
“數學分析（二）”的教學內容包括導數與微分、微分中值定理及其套用、實數的完備性總計三章內容，學習時間為10周。
“數學分析（二）”課程目標是在“數學分析（一）”學習的基礎上，通過進一步的學習和訓練，掌握導數、微分、微分中值定理以及實數完備性等基礎知識和理論，提高數學修養和數學學習能力，掌握數學的基本思想方法，為後繼學習打好基礎；讓學生了解微積分的創立是推動現代科學技術發展的火車頭，是人類文明的成果，最終使學生的數學思維能力得到根本的提高。
課程大綱
01導數和微分
導數與微分是微分學的核心概念，是研究函式與自變數關係的產物，有著及其廣泛的套用，是今後學習的基礎。
課時
1. 導數的定義；
2. 有限增量公式，左右導數，導函式
3. 導數的幾何意義
4. 函式極值與費馬定理
5. 習題課一
6. 導數的四則運算
7. 反函式的導數，複合函式的導數
8. 複合函式求導的例，對數求導發，基本求導公式
9. 參變數函式的導數
10. 習題課二
11. 高階導數，萊布尼茨公式
12. 微分的概念，微分運算法則
13. 高階微分，微分在近似計算中的套用
14. 習題課三
02微分中值定理及其套用
微分中值定理為導數的套用提供了有力的工具，同時也展示了非常深刻的數學思想。讀者要掌握利用導數的性質計算不定式極限並研究函式的單調性，極值（最值），凸性和拐點的方法。這些在其他學科有著非常廣泛的套用。
課時
1. 羅爾定理
2. 拉格朗日定理及推論
3. 拉格朗日定理套用舉例
4. 函式單調性判別，達布定理
5. 習題課一
6. 柯西中值定理
7. 不定式極限（一）
8. 不定式極限（二）
9. 不定式極限（三）
10. 習題課二
11. 帶有佩亞諾餘項的泰勒公式
12. 麥克勞林公式的例
13. 帶有拉格朗日餘項的泰勒公式
14. 泰勒公式在近似計算中的套用
15. 習題課三
16. 函式極值的第一和第二充分條件
17. 函式極值的第三充分條件
18. 函式的最大值和最小值
19. 習題課四
20. 函式的凸性，詹森不等式
21. 凸函式的等價條件，例
22. 函式凸性進一步的例，曲線的拐點
23. 習題課五
24. 函式圖像的討論
03實數的完備性
實數具有完備性，本章涉及的實數理論的六個定理是數學分析理論的基石，是對極限理論的完善。
課時
1. 區間套定理
2. 聚點定理
3. 有限覆蓋定理
4. 習題課
5. 上下極限概念
6. 上下極限性質
參考教材
“數學分析”慕課以華東師大數學系編寫的《數學分析》為教材，配合《數學分析學習指導書》。
1.《數學分析（第四版）》 華東師範大學數學系 高等教育出版社
2.《微積分學教程》 菲赫金哥爾茨 人民教育出版社
3.《數學分析》 北大數學系方企勤、沈燮昌、廖可人等 高等教育出版社
4.《數學分析》 李成章 黃玉民 科學出版社
5. 《數學分析》 陳紀修等 高等教育出版社
