排列數公式就是從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素(被取出的元素各不相同),按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。排列與元素的順序有關,組合與順序無關。加法原理和乘法原理是排列和組合的基礎。
基本介紹
- 中文名:排列數公式
- 外文名:Permutation Number Formula
- 學科:數學
- 領域:數理科學
- 原理:加法原理和乘法原理
- 特點:排列與元素的順序有關
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排列數
從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素的所有排列的個數,叫做從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素的排列數。記作符號
。A是英文arrangement(排列)的第一個大寫字母。
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例如,從7個不同的元素中任取5個元素的排列數為
,從10個不同的元素中任取7個元素的排列數為
。
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排列數公式
公式
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公式A是排列公式,從N個元素取M個進行排列(即排序)。
符號
C:組合數
A:排列數(在舊教材為P)
N:元素的總個數
R:參與選擇的元素個數
!:階乘,如5!=5×4×3×2×1=120
C:Combination 組合
P:Permutation排列 (現在教材為A-Arrangement)
推導過程
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填空可分為m個步驟:
第1步,第1位可以從n個元素中任選一個填上,共有n種填法;
第2步,第2位只能從餘下的n-1個元素中任選一個填上,共有n-1種填法;
第3步,第3位只能從餘下的n-2個元素中任選一個填上,共有n-2種填法;
……
第m步,當前面的m-1個空位都填上後,第m位只能從餘下的n-(m-1)個元素中任選一個填上,共有n-m+1種填法。
根據分步計數原理,全部填滿m個空位共有n(n-1)(n-2)…(n-m+1)種填法。所以得到公式:
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這裡n,m∈N*,並且m≤n這個公式叫做排列數公式其中,公式右邊第一個因數是n,後面的每個因數都比它前面一個因數少1,最後個因數為n-m+1,共有m個因數相乘。
基本理論
排列與元素的順序有關,組合與順序無關。如231與213是兩個排列,2+3+1的和與2+1+3的和是一個組合
兩個基本原理是排列和組合的基礎
(1)加法原理:做一件事,完成它可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法,……,在第n類辦法中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法。
(2)乘法原理:做一件事,完成它需要分成n個步驟,做第一步有m1種不同的方法,做第二步有m2種不同的方法,……,做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn種不同的方法。
這裡要注意區分兩個原理,要做一件事,完成它若是有n類辦法,是分類問題,第一類中的方法都是獨立的,因此用加法原理;做一件事,需要分n個步驟,步與步之間是連續的,只有將分成的若干個互相聯繫的步驟,依次相繼完成,這件事才算完成,因此用乘法原理。
這樣完成一件事的分“類”和“步”是有本質區別的,因此也將兩個原理區分開來。
特點
排列數公式
有以下一些特點:
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1.該公式共有m項乘積。
2.在這m項乘積中第一個因數是n,以後各項均比前一項少1,最後一項是n-m+1。
引入階乘n!以後,排列數公式變形如下:
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因此排列數公式還可以寫成:
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注意:為了保證公式在n=m時成立,特規定0! =1。