拐點，又稱反曲點，在數學上指改變曲線向上或向下方向的點，直觀地說拐點是使切線穿越曲線的點（即曲線的凹凸分界點）。若該曲線圖形的函式在拐點有二階導數，則二階導數在拐點處異號（由正變負或由負變正）或不存在。
基本介紹
- 中文名：拐點
- 外文名：inflection point
- 拼音：guǎi diǎn
- 別稱：反曲點
- 適用範圍：數理科學
定義,存在條件,必要條件,第一充分條件,第二充分條件,拐點的求法,
定義
設函式y=f(x)在點
的某鄰域內連續，若（ ，f（ ））是曲線y=f(x)凹與凸的分界點，則稱（ ，f（ ））為曲線y=f(x)的拐點。
註：拐點（ ，f（ ））是曲線上的一點，它有橫坐標和縱坐標，不要只把橫坐標當成拐點。
存在條件
必要條件
設函式f（x）在點 的某鄰域內具有二階連續導數，若（ ，f（ ））是曲線的拐點，則
,但反之不成立。
第一充分條件
直接根據拐點的定義，可以得到曲線存在拐點的第一充分條件。
設函式f（x）在點 的某鄰域內具有二階連續導數，若 的兩側
異號，則（ ，f（ ））是曲線y=f(x)的一個拐點；若 的兩側 同號，則（ ，f（ ））不是曲線的拐點。
第二充分條件
設函式y=f(x)在點 處 ，但
，那么存在 的一個領域，在該領域內
或
，根據函式單調性判定定理，則在該鄰域內單調遞增或單調遞減，而，故存在點的一個鄰域，在點的兩側異號，從而判定為曲線y=f(x)的拐點的橫坐標。根據以上分析，可以得到曲線存在拐點的第二充分條件。
若 ，且 ,則（ ，f（ ））是曲線y=f(x)的拐點。
除上述情況外，f（x）的二階導數不存在的點也有可能是
的符號發生變化的分界點。
拐點的求法
可以按下列步驟來判斷區間I上的連續曲線y=f(x)的拐點：
⑴求f''(x)；
⑵令f''(x)=0，解出此方程在區間I內的實根，並求出在區間I內f''(x)不存在的點；
⑶對於⑵中求出的每一個實根或二階導數不存在的點，檢查f''(x)在左右兩側鄰近的符號，那么當兩側的符號相反時，點(,f())是拐點，當兩側的符號相同時，點(,f())不是拐點。
