《拋物型隨機偏微分方程的平穩解及其相關問題》是依託復旦大學，由張奇擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：拋物型隨機偏微分方程的平穩解及其相關問題
- 依託單位：復旦大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：張奇
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目的目標是在前期工作的基礎上，利用倒向重隨機微分方程，研究其對應的拋物型隨機偏微分方程的平穩解及其相關問題。本項目將研究係數滿足多項式增長條件的拋物型隨機偏微分方程的平穩弱解的存在性問題，該類方程包含隨機Chafee-Infante方程和隨機Ginzburg-Landau方程等一些重要的數學物理方程；並且，本項目將進一步討論帶邊值條件的係數多項式增長的拋物型隨機偏微分方程的平穩弱解；另外，本項目還將考察以上研究所得到的平穩解附近的Lyapunov譜，並利用它來構造隨機動力系統的穩定流形和不穩定流形。為實現以上的研究目標，我們將首先研究對應的係數多項式增長的倒向重隨機微分方程在一類Hilbert空間（加權的L^2(dx)空間）中的解的存在唯一性，平穩性等相關性質，並利用對應關係將這些性質轉移到係數多項式增長的拋物型隨機偏微分方程。
結題摘要
本項目針對隨機偏微分方程的平穩解開展研究。平穩解是確定性動力系統的不動點在隨機情形下的自然擴展。但由於外部噪聲的干擾，平穩解的存在性是一個難題，特別是對非可加噪聲驅動的非線性隨機偏微分方程生成的隨機動力系統而言更是如此，一些論文只是假設平穩解的存在性從而研究系統的其它動力學性質。本項目利用倒向重隨機微分方程的解的平穩性及其與隨機偏微分方程的對應，以非可加噪聲驅動的係數多項式增長的非線性隨機偏微分方程的平穩解為主要研究目標，該研究屬於隨機分析與隨機動力系統相結合領域。 本項目順利完成既定研究計畫，即係數滿足多項式增長條件的拋物型隨機偏微分方程的平穩弱解的存在性、帶邊值條件情況下方程平穩弱解的存在性、隨機偏微分方程生成的隨機動力系統的穩定流形和不穩定流形等等。在完成原有研究計畫的基礎上，對一些相關問題進行了擴展研究，這些擴展研究涉及到倒向隨機偏微分方程、不完備市場中的倒向隨機微分方程、隨機分形方程等等。項目實施期間發表論文8篇，接收論文2篇，其中3篇論文發表在雜誌“Stochastic Processes and their Applications”，1篇論文發表在雜誌“Journal of Differential Equations”。項目負責人在項目實施期間參與組織國際學術會議3次，國際學術會議受邀報告8次。在研究生培養方面，項目負責人在此期間共有2名碩士生順利畢業。 項目成員合作富有成效且分工明確，在本項目的實施過程中，項目成員的研究能力顯著提高。項目成員對於隨機偏微分方程、隨機動力系統的平穩解、倒向隨機偏微分方程等研究方向有了更深入的理解和認識，積累了很多思想和方法上的經驗，對於後續的研究，即倒向隨機偏微分方程的平穩解和隨機周期解、隨機偏微分方程的隨機表示等問題，有了部分思路。以本項目的部分研究為基礎，項目負責人於2014年申請到國家自然科學基金委面上項目，為後續的擴展研究提供了條件。
