拉茲密辛條件是一種表述泛函微分方程的李亞普諾夫穩定性條件。條件的成功之處在於它並沒有對方程自身附加新的限制。
基本介紹
- 中文名：拉茲密辛條件
- 外文名：Razumikhin's condition
- 適用範圍：數理科學
簡介,推廣,拉茲密辛型定理,
簡介
拉茲密辛條件是一種表述泛函微分方程的李亞普諾夫穩定性條件。
20世紀50年代，當人們把常微分方程的李亞普諾夫方法推廣到泛函微分方程時發現，所有的穩定性定理的適用範圍都極其有限。例如，對最簡單的方程ẋ(t)=a(x)t+bx(t-τ)(τ=const>0)，取
則
中第二項是否恆正或恆負難以確定。
拉茲密辛(Razumikhin,B.)注意到
並不需要在原點的鄰域內定號，只要當|x(t-τ)|≤|x(t)|時定號即可，這就是拉茲密辛條件。
推廣
拉茲密辛條件還可推廣為P(x(s))≤P(x(t))(s≤t,t≥σ)。P(ξ)是K類函式：P(0)=0，P(ξ)>0(ξ≠0)。在這個條件之下，上述方程中只要a<0，|b|<|a|，則零解是穩定的。
條件的成功之處在於它並沒有對方程自身附加新的限制。
拉茲密辛型定理
在拉茲密辛條件下的穩定性定理通常稱為拉茲密辛型定理。
例如對RFDE(f):ẋ(t)= f(t,xt)，設f:R×C→Rn把R×（C中的有界集）映入Rn中的有界集，設u,v,w:R+→R+是連續的，非減函式u(s),v(s)當s>0時為正，u(0)=v(0)=0，若存在連續函式V(t,x)滿足下列條件，則方程的零解是一致穩定的：
1、
。
2、
，在條件V(t+θ,x(t+θ))≤V(t,x(t))(θ∈[-r,0])時成立。
若對s>0，w(s)>0，且存在連續函式P(s)>0，s>0，條件2換為V(t+θ,x(t+θ))≤P(V(t,x(t)))(θ∈[-r,0])，則方程的解是一致漸近穩定的。
