截斷誤差

誤差來源

一個物理量的真實值和我們算出的值往往不相等，其差稱為誤差。引起誤差的原因是多方面的。

(1)從實際問題轉化為數學問題，即建立數學模型時，對被描述的實際問題進行了抽象和簡化，忽略了一些次要因素，這樣建立的數學模型雖然具有“精確”、“完美”的外衣，其實只是客觀現象的一種近似。這種數學模型與實際問題之間出現的誤差稱為模型誤差。

(2)在給出的數學模型中往往涉及一些根據觀測得到的物理量，如電壓、電流、溫度、長度等，而觀測難免不帶誤差，這種誤差稱為觀測誤差。

(3)在計算中常常遇到只有通過無限過程才能得到的結果，但實際計算時，只能用有限過程來計算。如無窮級數求和，只能取前面有限項求和來近似代替，於是產生了有限過程代替無限過程的誤差，稱為截斷誤差，這是計算方法本身出現的誤差，所以也稱方法誤差。

(4)在計算中遇到的數據可能位數很多，也可能是無窮小數，但計算時只能對有限位數進行運算，因而往往進行四捨五入，這樣產生的誤差稱為捨入誤差。

截斷誤差定義

在不少數值運算中常遇到超越計算，如微分、積分和無窮級數求和等，它們需用極限或無窮過程來求得。然而計算機卻只能完成有限次算術運算和邏輯運算，因此需將解題過程化為一系列有限的算術運算和邏輯運算。這樣就要對某種無窮過程進行“截斷”，即僅保留無窮過程的前段有限序列而捨棄它的後段。這就帶來了誤差，稱它為截斷誤差，因為截斷誤差是數值計算方法固有的，因此又稱方法誤差。

例如，函式

可展開為無窮冪級數：