微分環

微分環(differential ring)是帶導子集的環。若環R有一個導子集合Δ，則Δ稱為R的微分系，R稱為有微分系Δ的環，或簡稱微分環或Δ環。設S是有微分系Δ的環R的子環，若S也是有微分系Δ的環，則S稱為R的微分子環，或Δ子環，而R稱為S的微分擴環。

基本介紹

  • 中文名：微分環
  • 外文名：differential ring
  • 別名：Δ環
  • 領域：數學
  • 學科：環論
  • 定義：帶導子集的環
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概念

微分環(differential ring)是帶導子集的環。若環R有一個導子集合Δ，則Δ稱為R的微分系，R稱為有微分系Δ的環，或簡稱微分環或Δ環。設S是有微分系Δ的環R的子環，若S也是有微分系Δ的環，則S稱為R的微分子環，或Δ子環，而R稱為S的微分擴環。R至少有兩個Δ子環{0}和R，稱為R的平凡微分子環。其餘的微分子環稱為非平凡微分子環，或真微分子環。有微分系Δ的環R的子環S是Δ子環的充分必要條件是：
a∈S，
δ∈Δ，有δa∈S.Δ={δ}時，Δ環及Δ子環分別記為δ環，δ子環。

導子

導子是從數學分析中移植於代數系統，用於討論一般可分擴張的一種運算。設L是K的擴域，映射D：K→L，若滿足：
微分環
則稱D是K的一個L值導子.在L=K時，或不需要特彆強調某個L時，可以徑稱導子.若K/F是域擴張，K的求導D在F上的限制D′=D|F是F的求導，則稱D是D′在K上的拓展。對特徵p≠0的域F，K/F成為可分擴張，若且唯若F的每個導子都能拓展為K的導子。

環

環是對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環。例如，若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集
的全體構成的集類，則F是R上的一個環。環也是對於交與對稱差運算封閉的集類，並按這兩種運算成為布爾環。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質。環以及半環、σ環、代數、σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。

微分

微分是微積分的重要概念之一。設函式y=f (x)在點x0的某個鄰域內有定義。若函式y=f(x) 在點x0的改變數Δy可以表示為：
Δy =AΔx +o(Δx)，　(1)
其中A與Δx無關而與x0有關，則稱函式f (x)在點x0可微，ΔAx稱為函式f (x)在點x0的微分，記作dy |x=x0= AΔx。
微分具有以下兩個特點：
① dy=AΔx是Δx的線性函式，表達式簡單。
② Δy-dy=o (Δx)，即Δy與dy相差一個比Δx高階的無窮小量。換言之，用微分代替改變數，當|Δx|充分小時，不僅誤差|Δy-dy|本身很小，更重要的是，其相對誤差|(Δy-dy)/AΔx|可以任意小。所以，在式(1)右端，AΔx起主要作用。
上述的兩個特點表明，微分dy是Δy的既簡單而又具有一定精確度的近似表達式。
函式f(x)在點x0可微的充分必要條件是f(x)在點x0可導，且 (1) 中的A等於f′ (x0)。
這表明，一元函式的可導與可微是等價的。函式y=f (x)在點x0的微分可表示為dy|x=x0= f′ (x0) Δx。
若函式y=f (x)在區間I上的每一點都可微，則稱f (x)為I上的可微函式。函式y=f (x)在區間I上的微分記作dy=f′ (x)Δx。d y既依賴於x，又依賴於Δx，而x與Δx是互相獨立的兩個變數。
通常約定，自變數x的微分dy=Δx。於是，
d y =f′ (x)dx，
從而有：
記號dy/dx具有雙重意義。作為整體記號，它表示f (x)的導數f′ (x);作為運算記號，它表示函式的微分與自變數微分之比。因此，導數也稱為微商。

環論

抽象代數學的主要分支之一。它是具有兩個運算的代數系。在非空集合R中定義加法“+”和乘法“·”運算，使得R中任意元a，b，c適合條件：
1.R對加法為交換群，稱為R的加法群，記為(R，+);
2.R對乘法適合結合律，即(R，·)是半群，稱為R的乘法半群;
3.乘法對加法的左、右分配律成立，即：
a·(b+c)=a·b+a·c (左分配律)，
(b+c)·a=b·a+c·a (右分配律);
則稱R為結合環，簡稱環(通常a·b寫為ab)。它是環論研究的主要對象。環論起源於19世紀關於實數域的擴張與分類，以及戴德金(Dedekind，J.W.R.)、哈密頓(Hamilton，W.R.)等人對超複數系的建立和研究。韋德伯恩(Wedderburn，J.H.M.)於1907年給出的結構定理給出代數研究的模式，也成為環結構研究的模式。20世紀20-30年代，諾特(Noether，E.)建立了環的理想理論，阿廷(Artin，E.)又將代數結構定理推廣到有極小條件的環。同時，對非極小條件的環，馮·諾伊曼(von Nenmann，H.)建立了正則環理論，相繼蓋爾范德(Гельфанд，И.М.)創立了賦值環，克魯爾(Krull，W.)建立了局部環理論，以及哥爾迪(Goldie，A.W.)完善了極大條件環理論。
20世紀40年代，根論迅速發展，尤其是雅各布森(Jacobson，N.)於1945年引入的被稱為雅各布森根的概念後，建立了本原環理論、半本原環的結構定理與本原環的稠密性定理，完善和深化了不帶附加條件環的理論。20世紀50年代中期，阿密蘇(Amitsur，S.A.)、庫洛什(Kurosh，A.)創立了根的一般理論，環論已趨完善。
另一方面，由群表示研究的影響，產生模、群環與分次環的理論.20世紀20年代初，諾特引入了模的概念，並研究模對有限群表示的作用與環結構之間的關係，用模的語言去刻畫環，特別是20世紀50年代以後，同調代數的迅速發展，使環的理論進入更高層次雖然，早在1854年，凱萊(Cayley，A.)就引入了群代數，然而，它的研究是從20世紀30年代開始直到60—70年代，受群表示論與環的理論的推動才蓬勃發展起來的。20世紀70年代後，由於分次代數的推動，群代數進入新的階段——交叉積的研究。分次環與模發展的另一動力是交換代數幾何中射影代數簇，20世紀70年代以來，由於非交換代數幾何及群表示論的推動，環論已進入一個新的階段。
若環R的乘法適合交換律，則稱R為交換環。乘法半群的左(右)單位元，稱為環R的左(右)單位元。乘法半群的單位元稱為環R的單位元。(R，+)的零元稱為環R的零元。在一個元構成的環中，零元是單位元，但兩個以上的元構成的環中，零元一定不是單位元.環R的一個非空子集合S，若對R的加法、乘法也構成環，則稱S是R的子環。S是R的子環若且唯若對任意a，b∈S恆有a-b∈S，ab∈S。
比結合環條件較弱的是非結合環，非結合環與代數受量子力學的刺激發展起來，但其研究的方法和思路基本上沿著結合環的格式，並早已趨完整。比結合環更弱的環類是擬環與半環，雖然早在20世紀40年代，就分別由扎森豪斯(Zassenhaus，H.)和范迪維爾(Vandiver，H.S.)提出，但它們的發展是20世紀60年代以來，受自然科學和數學其他分支(如非線性同調代數、非線性幾何、泛函分析、組合數學、動力系統和計算機科學)的推動而迅速成熟起來的，現已成為環論的獨立分支。

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