《微分多項式分解的算法和理論研究》是依託中國科學技術大學，由張明波擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：微分多項式分解的算法和理論研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：張明波
- 依託單位：中國科學技術大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
微分代數是上世紀五十年代由J.F.Ritt等人建立並發展起來的學科，它站在代數的觀點，利用代數幾何和符號計算中的工具和技巧來處理多項式形式的微分方程。作為微分代數中主要研究對象的微分多項式，其分解問題則是該學科中的重要研究課題，並與一些經典的數學問題密切相關；而其特殊而重要的子類- - 代數多項式和微分運算元的分解，也已被廣泛研究。本項目將致力於研究單變元常微分多項式分解的性質、算法和極大分解的唯一性理論以及與之密切相關的中間域Lüroth生成元等問題。給出切實可行、複雜度更好的算法，探討與代數多項式和Ore多項式體系分解理論中極大分解唯一性定理相對應的結論，並利用分解研究和計算微分域的單超越擴張和中間域的微分多項式生成元。該項目的結果將成為微分代數中重要理論結果的一部分，並對有關方程的化簡求解，Ore多項式的分解，曲線與曲面的正則參數化，微分Galois理論等問題有較大的影響和幫助。
結題摘要
微分代數是上世紀五十年代由J.F.Ritt等人建立並發展起來的學科，它站在代數的觀點，利用代數幾何和符號計算中的工具和技巧來處理多項式形式的微分方程. 微分多項式是微分代數的研究對象，正如代數多項式為代數幾何的研究對象. 而幾乎所有與代數多項式問題相關的研究課題，都會是微分代數中對微分多項式的重要課題， 例如零點表示，Grobner基，結式等；分解(decomposition)也是其中之一. 分解問題與一些經典的數學問題例如方程化簡求解，中間域等問題密切相關，而其特殊而重要的子類--代數多項式和微分運算元的分解，也已被廣泛研究. 本項目的研究內容包括研究單變元常微分多項式分解的性質、算法和極大分解的唯一性理論以及與之密切相關的中間域Lüroth生成元，微分多項式的結式與反結式等問題. 希望給出切實可行、複雜度更好的算法，探討與代數多項式和Ore多項式體系分解理論中極大分解“唯一性”定理相對應的結論，並利用分解研究和計算微分域的單超越擴張和中間域的微分多項式生成元. 通過本項目的研究，雖未能解決計畫中的全部課題，但對算法的實現有了效率上的進一步提升，並研究發現了微分多項式係數運算元環上的同構（這對分解有直接與重要的幫助）；同時研究了分解概念的推廣---反結式. 提出了反結式的問題，定義以及在某些特定情形下的反結式的計算與理論. 這是對許多方程化簡求解，包括分解等經典方法的推廣，並將有很多的工作要做的一個領域，對微分方程的解析解的求解，化簡以及相關問題有重要意義.
