微分差分多項式系統高效消元算法研究

《微分差分多項式系統高效消元算法研究》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由袁春明擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：微分差分多項式系統高效消元算法研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：袁春明
• 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院

項目摘要

消元理論與算法是數學機械化的核心研究內容，特徵列方法與結式方法是其中兩個基本消元算法。目前代數方程與微分方程的特徵列與代數方程的結式方法已經相當成熟並得到廣泛套用，而差分方程的特徵列與微分方程的結式方法研究才剛剛起步。我們建立了常差分與常微分-差分混合系統的特徵列方法，給出了微分Chow形式與微分結式的相關理論與算法。本項目將在我們已有工作的基礎上，進一步研究偏差分方程組的特徵列方法及微分方程組的結式方法及其套用，研究內容包括：在特徵列方法方面，發展偏差分核理論，研究偏差分升列的性質，解決偏差分情形下的根理想成員判定問題，並將這些結果套用於偏差分情形的定理機器證明；在微分結式方面，研究微分結式的矩陣表示以及微分sparse結式次數界問題；在算法設計方面，研究微分結式、微分sparse結式與微分Chow形式的高效符號算法及其套用。

結題摘要

本項目主要研究了稀疏微分與差分結式的基本性質與計算問題。給出了稀疏微分（差分）結式存在的充分必要條件，證明了稀疏微分（差分）結式具有類似於代數結式的性質，並以此為基礎給出了計算稀疏微分（差分）結式的單指數算法。此外，結式的矩陣表示可以極大地簡化結式的表達與計算，我們針對兩個任意次數的一階單變元微分多項式的結式的矩陣表示問題，證明了基於我們方法構作的矩陣是非奇異的，微分結式則是所構作矩陣行列式的非零因子。這是首個針對一類非線性微分多項式給出的矩陣表示。