復域中微分方程-Painleve方程解的性質及其套用的研究

《復域中微分方程-Painleve方程解的性質及其套用的研究》是依託北京郵電大學，由李葉舟擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：復域中微分方程-Painleve方程解的性質及其套用的研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：李葉舟
• 依託單位：北京郵電大學

項目摘要

由於本身理論的發展及其在其它領域中的重要套用，Painlevé方程早被定為是最重要的非線性常微分方程，而且Painlevé超越函式如今被認為將歸入經典的特殊函式之列。對複方程，特別是Painlevé方程解的性質及其套用的研究越來越引起關注和重視。本項目立項研究複方程（特別是Painlevé方程及其高階類似）的解的存在性，解的性質，動力學特徵及其套用，主要包括：研究複方程的值分布性質；利用Painlevé方程及其高階類似的有理解和代數函式解的存在性、解的精確表達式和Backlund變換構造相應數學物理方程的解析解；研究Painlevé方程解的動力系統，包括有理解、代數解及Painlevé超越亞純函式的動力學特徵。通過這些研究從反過來刻畫微分方程的特徵。

結題摘要

由於本身理論的發展及其在其它數學分支中的重要套用，對復域上的微分方程，特別是潘勒韋方程解的性質及其套用的研究越來越引起關注和重視。本項目主要運用解析函式的值分布理論、正規族理論和復動力系統的基本理論研究復域上微分方程的值分布性質與動力學性質， 主要研究了代數微分方程及微分方程組的亞純函式解的增長級, 高階線性微分方程解的不動點的性質及潘勒韋方程有理解的動力學性質。利用複分析和Painleve分析的方法研究復化的數學物理方程、輔助常微分方程的亞純解和三階 fisher方程，得到數理方程新的精確解。我們按計畫對本項目進行研究獲得相應成果如下： （1）研究復域上代數微分方程及微分方程組的亞純解的值分布性質。運用值分布理論和正規族理論，對廣泛一類代數微分方程及方程組的亞純解給出增長級的上界，將Gol'dberg定理進一步推廣，並舉例說明了所給上界的精確性。所得結果發表在Electronic Journal of Differential Equation, Advances in Difference Equations, Acta Mathematics Scientia, 數學物理學報等雜誌上。 （2）研究高階線性微分方程解的值分布性質和不動點性質，得到高階微分方程解的零點收斂指數與方程小函式係數之間的關係，並進一步得到解的不動點的分布。 （3）研究潘勒韋（Painleve）方程解的動力學性質，利用復動力系統的基本理論並藉助於MATLAB計算工具研究第二類和第四類潘勒韋有理解的不動點，進一步疊代分析其動力學性質。 （4）研究輔助常微分方程的亞純解，一些有套用背景的數學物理方程經適當變數替換後可復化， 借用複分析和Painleve分析的方法探討其亞純解的存在性與可能的表示形式，從而獲得數理方程顯式精確解, 確定新的精確解，所得結果發表在Mathematical Methods in the Applied Sciences, Advances in Mathematical Physics等雜誌上。