復勢函式

流量與環量

以速度場為例

1. 流量與環量設流體在z 平面上某一區域D 內流動,

v( z) = p + qi 是在點z∈D 處的流速, 其中p = p ( x, y), q =q( x, y)分別為v( z)的水平及垂直分速,並且假設它們都是連續的.

今考查流體在單位時間內流過以A 為起點, B 為終點的有向

曲線γ(圖 3.17)一側的流量(實際上是流體層的質量).為此取弧元 ds, n 為其單位法向量,它指向曲線 γ的右邊(順著 A 到 B 的方向看).顯然,在單位時間內流過ds 的流量為vn ds( vn 是v 在n

上的投影),再乘上流體層的厚度以及流體的密度(取厚度為一個

單位長,密度為1).因此,這個流量的值就是

vn ds 131 ·

這裡dε為切向量dz = dx + idy 之長.當v 與n 夾銳角時,流量

vn ds 為正;夾鈍角時為負.

令

τ=dx/ds+ idy/ds

是順 γ正向的單位切向量.故 n 恰好可由τ旋轉 - π2

得到,即

n = e^-π/2i τ= 積分- i τ=dy/ds- idx/ds

.

於是即得v 在n 上的投影為

vn = v·n = pdyds- qdxds

.以Nγ 表示單位時間內流過γ的流量,則

Nγ =∫γpdyds- qdxdsds =∫γ- qdx + pdy.

在流體力學中,還有一個重要的概念,即流速的環量.它定義為:流速在曲線γ上的切線分速,沿著該曲線的積分,以Γγ 表示.

於是Γγ =∫γpdxds+ qdydsds =∫γpd x + qdy.

我們可以藉助於復積分來表示環量和流量.為此,我們以

i 乘Nγ,再與Γγ 相加即得

Γγ + iNγ =∫ γ

pd x + qdy + i∫γ

- qd x + pdy

=∫γ

( p - qi)( d x + idy)

即Γγ + iNγ =∫γ

v( z) dz.

令f( z) = φ( x, y) + iψ( x, y)

w=φ + iψ為某一流動的復勢. 我們稱 φ( x, y)為所述流動的勢函式, 稱 φ( x, y) = k( k 為實常數)為勢線;稱 ψ( x, y)為所述流動的流函數,稱 ψ( x, y) = k( k 為實常數)為流線.

因

φx + iψx = f′( z) = v( z) = p - iq,

所以

p = φx = ψy , q = - ψx = φy . ( C. - R.)