後繼數

後繼數是指緊接某個自然數後面的一個數，如2的後繼數是3，4的後繼數是5。0不是任何自然數的後繼數，每一個確定的自然數，都有一個確定的後繼數。

基本介紹

• 中文名：後繼數
• 外文名：successor number
• 一級學科：數理科學
• 二級學科：數學術語
• 定義：緊接的後一個數
• 特點：0不是任何自然數的後繼數

定義

後繼數是指緊接某個自然數後面的一個數，如2的後繼數是3，4的後繼數是5。

皮亞諾公理

皮亞諾的這五條公理用非形式化的方法敘述如下：
①0是自然數；
②每一個確定的自然數 a，都有一個確定的後繼數x' ，x' 也是自然數；
③如果b、c都是自然數a的後繼數，那么b = c；
④0不是任何自然數的後繼數；
⑤設S是自然數集的一個子集，且（i）0屬於S；（2）如果n屬於S，那么n的後繼數也屬於S。

套用

後繼數可套用於數學歸納法的原理的推導，數學歸納法的原理是：

1）（即初始數）第一個是自然數；
2） 每一個自然數後面有一個後繼數，比如2的後繼數是3，3的後繼數是4, ........ ,n的後繼數是n+1，以此類推，直至無窮。

所以數學歸納法證明很簡單，只需要證明1）初始數滿足條件；2）如果自然數n滿足條件，那么自然數n+1也滿足條件，只需要證明此兩條就夠了。

數學歸納法的延伸證明，即實際操作起來的幾種情況：第一種就是若n=k時成立，證明n=k+1時成立；第二種就是證明，若n<=k時成立，則n=k+1時成立；第三種就是 如果命題P(n）在n=1,2,3,......,t時成立，並且對於任意自然數k，由P(k),P(k+1）,P(k+2）,......,P(k+t-1）成立，其中t是一個常量，那么P(n）對於一切自然數都成立。

後繼函式的相關研究

數概念發展的第二個爭議在於兒童的數概念是先天能力在後天的一種表現，還是後天學習數數的結果?Gelman和Gallistel（1978）等人認為，數數技能的發展，受到天生就有的內在數數原則的支配。Gelman和Galiistel曾經提出後繼函式（successor function）的概念。後繼函式指的是如果一個數詞( 數量)n所指代的基數值是n，若在數數序列中，數詞p緊接在n之後，那么p所對應的基數值（數量） 就是n + 1。Gelman和Galiistel認為兒童先天就具有對這個函式的理解。而以Fuson為代表的研究者則認為，數數技能來自於兒童學習的數數經驗，是後天學習的結果。

有學者從兒童數概念發展的理解者水平模型的理論視角，對100名2 ～ 5歲學前兒童的數概念發展水平進行劃分，並比較不同水平兒童對後繼函式的理解和掌握，探討兒童數概念的發展過程。結果表明:4歲以後絕大部分兒童達到了數概念發展的最高水平即基數原則水平，該水平的兒童可以把後繼函式的方向性和單位性變化對應到數數序列的數詞上。而2 ～ 3歲的大部分兒童還處於子集水平，該水平的兒童和基數原則水平的兒童相比，對後繼函式的理解存在差異。但後繼函式的發展不是全或者無的，子集水平的兒童也具有對較小數量的方向性和單位性的認識。