彭納投影即等積偽圓錐投影。為法國人彭納所創。中央經線是直線，其他經線為對稱於中央經線的曲線。緯線為同心圓弧。中央經線和標準緯線上沒有變形，離開這兩條線越遠變形越大。圖上所有緯線都保持長度不變，面積相等。彭納投影常用作大洲圖。
基本介紹
- 中文名：彭納投影
- 外文名：Bonne's projection
- 別稱：等積偽圓錐投影
- 創造者：法國人彭納
- 用途：常用作大洲圖
- 性質：地圖投影
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概念
彭納投影是等積偽圓錐投影中的一種。由法國工程師彭納(Ribbons)於1752年設計的一種等積偽圓錐投影。該投影的特點是：中央經線和中央緯線是沒有變形的線;緯線形狀仍然保持和正軸圓錐投影一樣的圓弧，但經線變為對稱曲線，如圖1所示。投影條件為：①n=1，即所有緯線沿緯線方向長度比等於1，同一條緯線上經距相等，但是除標準緯線外，其他緯線的非緯線方向長度比不等於1，故仍然有長度變形；②m0=1，即中央經線長度比等於1，故中央經線上緯距相等；③P=1，面積變形為零，屬等面積投影。該投影的變形分布規律是：中央經線和中央緯線是兩條沒變形的線，距離這兩條線越遠，其變形越大。彭納投影常用於編制中緯地區小比例尺區域圖，例如亞洲政區圖、歐洲地圖等。
圖1等積投影
地圖上任一圖形面積與實地上相應的面積相等。即面積變形等於零。為了保持等積條件，需使面積比等於1。常見的等積條件形式有：①P= mnsinθ=1(P為面積比，m為經線長度比，n為緯線長度比，θ為經緯線投影后的夾角)；②P=ab=1(a為某點上最大長度比，b為某點上最小長度比)。在等積投影的不同點上，由於最大長度比不斷增大，最小長度比不斷縮小，因而形狀變化比較大，角度變形也比較大。由於這類投影沒有面積變形，故有利於在地圖上進行面積對比。一般常用於繪製對面積精度要求高的自然地圖和經濟地圖。
圓錐投影
以圓錐面作為投影面，使圓錐面與地球面相切或相割，將地球面上的經緯線投影到圓錐面上，然後把圓錐面沿一條母線剪開展為平面而成。由於圓錐面與地球面相切或相割的位置不同，有正軸圓錐投影、橫軸圓錐投影和斜軸圓錐投影。正軸圓錐投影是在投影時使圓錐的軸與地軸重合。投影后的經緯線形狀比較簡單，稱為標準網。緯線為以圓錐頂點為圓心的同心圓弧，經線為由圓錐頂點向外放射的直線束，經線間的夾角小於相應的經度差。設地球面上兩條經線的夾角為λ，投影在平面上為δ，則δ=cλ(c—圓錐常數)。緯線半徑ρ隨緯度而變化，即ρ是緯度φ的函式，一般用ρ=f(φ)式表達。故正軸圓錐投影的一般公式為：ρ=f(φ)，δ=cλ。圓錐常數c與圓錐的切、割位置等條件有關。對於不同的圓錐投影，它是不同的。但對於某一個具體的圓錐投影，C值是固定的。總的說來，C值小於1，大於0，即0<C<1。當C=1時，δ=λ，圓錐頂角為360°，圓錐面變成了平面，就是方位投影了。如果C=0，圓錐頂角為0°，經線成為平行直線，這就成為圓柱投影了。所以可以說方位投影和圓柱投影都是圓錐投影的特例。
由於ρ的函式形式不同，圓錐投影有等角圓錐投影、等積圓錐投影和任意(包括等距)圓錐投影，每一種中都有切圓錐投影和割圓錐投影。不論哪一種圓錐投影變形分布規律都是相同的。凡是切圓錐投影，相切的緯線是一條沒有變形的線，稱為標準緯線。從標準緯線向南、向北變形逐漸增大。凡是割圓錐投影，相割的兩條緯線沒有變形，是兩條標準緯線。離開標準緯線愈遠，變形愈大。等變形線與緯線平行，呈同心圓弧狀分布。
圓錐投影適合於繪製中緯度沿東西方向延伸地區的地圖。由於地球上廣大陸地位於中緯度地區，圓錐投影經緯線形狀又比較簡單，所以它被廣泛套用於編制各種比例尺地圖。
偽圓錐投影
偽圓錐投影又稱“擬圓錐投影”。地圖投影中的一類。在圓錐投影基礎上修改而成。在正軸投影中，緯線仍為同心圓弧，圓心保持在以直線表示的中央經線上，其他經線為對稱於中央經線的曲線。這類投影的經線與緯線不正交，故沒有等角性質的偽圓錐投影，只有等積和任意偽圓錐投影。常用於編制中、小比例尺的區域地圖。
地圖投影
按照一定的數學法則將地球橢球面上的經緯線轉移到平面上的方法。也就是使地球橢球面上各點的地理坐標與平面上各點的直角坐標(或極坐標)保持一定的函式關係。地球橢球面是曲面，而地圖是繪製在平面上，因此製圖時首先要把曲面展為平面。然而地球橢球面是個不可展的曲面，假如把它直接展為平面，必然發生破裂或褶皺，用這種具有破裂或褶皺的平面繪製地圖，顯然是不實用的。所以必須採用數學方法將曲面展為平面，以保持平面上圖形的完整和連續。地圖投影方法很多，但不論採用什麼投影方法所得到的經緯線網形狀都不可能與地球橢球面上的經緯線網形狀完全相似。這表明投影之後地圖上的經緯線網發生了變形，因而根據地理坐標展繪在地圖上的各種地理事物也必然隨之產生變形。變形主要表現在三個方面： 長度變形、面積變形和角度變形。變形是不可避免的，但若給予一定的條件，如等角條件，等積條件，則可使其中某種變形等於零，用以滿足不同用途對地圖投影的要求。按變形性質地圖投影可分為三類：等角投影、等積投影和任意投影(包括等距投影)。
地圖投影最初建立在透視的幾何原理上，它是把地球橢球面直接透視到平面上，或透視到可展為平面的曲面上，如圓柱面和圓錐面。這樣就得到具有幾何意義的方位、圓柱和圓錐投影。隨著科學的發展，為了使地圖上變形儘量減小，或者為了使地圖滿足某些特定要求，地圖投影逐漸跳出了原來藉助幾何面構成投影的框子，而產生了一系列按照數學條件構成的投影。按照構成方法可以把地圖投影分為兩大類： 幾何投影和非幾何投影。幾何投影是把地球橢球面上的經緯線投影到幾何面上，然後將幾何面展為平面而成的。根據幾何面的形狀可以分為方位投影、圓柱投影和圓錐投影。非幾何投影是不藉助於幾何面，根據某些條件用數學解析法確定地球橢球面與平面之間點與點的函式關係。在這類投影中，一般按經緯線形狀又分為偽方位投影、偽圓柱投影、偽圓錐投影和多圓錐投影。
