彈簧振子

彈簧振子是一個不考慮摩擦阻力，不考慮彈簧的質量，不考慮振子的大小和形狀的理想化的物理模型。用來研究簡諧振動的規律。

基本介紹

• 中文名：彈簧振子
• 外文名：mass spring
• 範疇：物理模型

基本信息

如圖所示是一個彈簧振子的模型，其中金屬桿光滑，輕質彈簧質量遠小於金屬小球的質量，故可忽略不計。

位置	A	A→ O	O	O→ B	B
位移大小	最大	減小	0	增大	最大
速度大小	0	增大	最大	減小	0
動能	0	增大	最大	減小	0
勢能	最大	減小	0	增大	最大
總能	不變	不變	不變	不變	不變

彈簧振子在一個周期內位移、速度與回復力變化的示意圖。

單擺也是一種理想化的模型，它的結構是一根輕質無彈性的細線一端懸掛（即細線的伸縮不計），另一端下系一小球，當小球的直徑遠小於線的長度，且小球的質量遠大於細線時，在不計空氣阻力的情況下，這樣的裝置叫單擺。當單擺的擺角小於等於5°，且在豎直平面內做往復運動時，所做的運動也是簡諧振動。小球是一個做簡諧振動的振子，意義和彈簧振子相同。

彈簧振子的周期為。

單擺在一個周期內位移、速度與加速度變化的示意圖。

其中k表示彈簧的勁度係數

m表示彈簧振子（小球）的質量。

推導過程

並不嚴格的方法

由簡諧振動位移公式 x=Asinωt （1）

對時間t求一次導數: v=Aωcosωt

再對時間t求一次導數:a=-Aω^2sinωt=-ω^2x （2）

再考慮簡諧振動的力的公式-kx=ma （3）

比較（1）、（2）、（3）三式（代入）

有-kAsinωt=-mAω^2sinωt

整理得ω^2=k/m

開方得ω=√(k/m)

則T=2π/ω=2π√(m/k)

用牛頓力學推飛彈簧振子運動方程

把坐標原點選在彈簧原長處，x軸沿彈簧方向，由牛頓第二定律

在i方向投影后得到簡單的標量微分方程

這個微分方程的通解是

我們就從理論上得出了位移公式，相比在“並不嚴格的方法”中直接給出的位移公式，是不是更加有說服力？

從三角函式的知識可知

簡諧運動示意圖

用拉格朗日方法推飛彈簧振子運動方程

現在用分析力學的方法求解運動方程

先寫出拉格朗日函式

把拉格朗日函式代入拉格朗日方程

即得