弱正則環(weakly regular ring)是介於正則環類與遺傳冪等環類之間的一類環。環R稱為弱正則的，若對R中每一個元a，都有b∈(a)，使得a=ab，其中(a)是由a生成的主理想；它等價於R的每個右理想I是冪等的。
基本介紹
- 中文名：弱正則環
- 外文名：weakly regular ring
- 領域：數學
- 學科：環論、測度論
- 性質：介於正則環類與遺傳冪等環類之間
- 相對概念：強正則環
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概念
弱正則環(weakly regular ring)是介於正則環類與遺傳冪等環類之間的一類環。環R稱為弱正則的，若對R中每一個元a，都有b∈(a)，使得a=ab，其中(a)是由a生成的主理想；它等價於R的每個右理想I是冪等的，即I2=I。若對環R中每一個元a，都有x∈R使得a=a2x，則稱R為強正則環..每個強正則環都是馮·諾伊曼正則環。
環
對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環。例如，若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集：
馮·諾伊曼正則環
馮·諾伊曼正則環是一類重要正則環。若對環R的任意元x都有R中元a使得xax=x，則稱R為馮·諾伊曼正則環。環R是馮·諾伊曼正則的若且唯若R的每個有限生成右(左)理想可由一個冪等元生成；又若且唯若每個右(左)R模是平坦模。正則環起源於馮·諾伊曼連續幾何的坐標環，是由馮·諾伊曼(von Neumann，H.)於1936年引入的。有極小單側理想而不滿足極小條件的單環是正則環而非雙正則環。正則環的每個左(右)主理想都是投射的，因此半單環是正則的，正則環是左和右半遺傳的。
遺傳冪等環
遺傳冪等環是對一般根的研究有重要價值的環類。若環R的每個理想都是冪等的，則稱R為遺傳冪等環。一個環R是遺傳冪等的若且唯若對R的任意理想B，C，恆有B∩C=BC。例如，一個環R的反單根的補根是遺傳冪等的。
環論
抽象代數學的主要分支之一。它是具有兩個運算的代數系。在非空集合R中定義加法“+”和乘法“·”運算，使得R中任意元a，b，c適合條件：
1.R對加法為交換群，稱為R的加法群，記為(R，+)；
2.R對乘法適合結合律，即(R，·)是半群，稱為R的乘法半群；
3.乘法對加法的左、右分配律成立，即a·(b+c)=a·b+a·c (左分配律)，(b+c)·a=b·a+c·a (右分配律)；
則稱R為結合環，簡稱環(通常a·b寫為ab)。它是環論研究的主要對象。環論起源於19世紀關於實數域的擴張與分類，以及戴德金(Dedekind，J.W.R.)、哈密頓(Hamilton，W.R.)等人對超複數系的建立和研究。韋德伯恩(Wedderburn，J.H.M.)於1907年給出的結構定理給出代數研究的模式，也成為環結構研究的模式。20世紀20-30年代，諾特(Noether，E.)建立了環的理想理論，阿廷(Artin，E.)又將代數結構定理推廣到有極小條件的環。同時，對非極小條件的環，馮·諾伊曼(von Nenmann，H.)建立了正則環理論，相繼蓋爾范德(Гельфанд，И.М.)創立了賦值環，克魯爾(Krull，W.)建立了局部環理論，以及哥爾迪(Goldie，A.W.)完善了極大條件環理論。
20世紀40年代，根論迅速發展，尤其是雅各布森(Jacobson，N.)於1945年引入的被稱為雅各布森根的概念後，建立了本原環理論、半本原環的結構定理與本原環的稠密性定理，完善和深化了不帶附加條件環的理論。20世紀50年代中期，阿密蘇(Amitsur，S.A.)、庫洛什(Kurosh，A.)創立了根的一般理論，環論已趨完善。
另一方面，由群表示研究的影響，產生模、群環與分次環的理論.20世紀20年代初，諾特引入了模的概念，並研究模對有限群表示的作用與環結構之間的關係，用模的語言去刻畫環，特別是20世紀50年代以後，同調代數的迅速發展，使環的理論進入更高層次雖然，早在1854年，凱萊(Cayley，A.)就引入了群代數，然而，它的研究是從20世紀30年代開始直到60—70年代，受群表示論與環的理論的推動才蓬勃發展起來的。20世紀70年代後，由於分次代數的推動，群代數進入新的階段——交叉積的研究。分次環與模發展的另一動力是交換代數幾何中射影代數簇，20世紀70年代以來，由於非交換代數幾何及群表示論的推動，環論已進入一個新的階段。
若環R的乘法適合交換律，則稱R為交換環。乘法半群的左(右)單位元，稱為環R的左(右)單位元。乘法半群的單位元稱為環R的單位元。(R，+)的零元稱為環R的零元。在一個元構成的環中，零元是單位元，但兩個以上的元構成的環中，零元一定不是單位元.環R的一個非空子集合S，若對R的加法、乘法也構成環，則稱S是R的子環。S是R的子環若且唯若對任意a，b∈S恆有a-b∈S，ab∈S。
比結合環條件較弱的是非結合環，非結合環與代數受量子力學的刺激發展起來，但其研究的方法和思路基本上沿著結合環的格式，並早已趨完整。比結合環更弱的環類是擬環與半環，雖然早在20世紀40年代，就分別由扎森豪斯(Zassenhaus，H.)和范迪維爾(Vandiver，H.S.)提出，但它們的發展是20世紀60年代以來，受自然科學和數學其他分支(如非線性同調代數、非線性幾何、泛函分析、組合數學、動力系統和計算機科學)的推動而迅速成熟起來的，現已成為環論的獨立分支。
理想
集合論中的基本概念之一。設S為任意集合，若I⊆P(S)且滿足：
1.∅∈I;
2.若X，Y∈I，則X∪Y∈I;
3.若X，Y⊆S，X∈I，Y⊆X，則Y∈I;
則稱I為集合S上的理想。理想的概念在現代數學的幾乎每個分支中均有套用，且有許多變體或引申。例如，布爾代數上的理想即為集合上的理想的一種變體。設B為任意布爾代數，若B的一個子集I滿足：
1.0∈I，1∉I(其中0，1分別為布爾代數B中的零元與么元);
2.對任何u∈I，v∈I，有u+v∈I;
3.對任何u，v∈B，若u∈I且v≤u，又v∈I;
則稱I為B上的理想。理想與濾子有非常密切的聯繫。
