弱同調群(weak homology groups)是同調群的一種弱化。設K是復形，z和z′為K的兩個閉鏈，若存在非零整數m使得m(z-z′)同調於0，則稱z和z′弱同調。同調的兩個閉鏈一定是弱同調的。閉鏈群Zq(K)中同調於0的元素組成邊緣鏈群Bq(K)，而弱同調於0的全體元素就是Bq(K)在Zq(K)中的除閉包B-q(K)，稱為q維弱邊緣鏈群。
基本介紹
- 中文名：弱同調群
- 外文名：weak homology groups
- 領域：數學
- 學科：群論
- 性質：同調群的一種弱化
- 對象：閉鏈
概念,群,同調群,交換群,邊緣鏈群,復形,
概念
弱同調群(weak homology groups)是同調群的一種弱化。設K是復形，z和z′為K的兩個閉鏈，若存在非零整數m使得m(z-z′)同調於0，則稱z和z′弱同調。同調的兩個閉鏈一定是弱同調的。閉鏈群Zq(K)中同調於0的元素組成邊緣鏈群Bq(K)，而弱同調於0的全體元素就是Bq(K)在Zq(K)中的除閉包B-q(K)，稱為q維弱邊緣鏈群。商群q(K)/B-q(K)稱為復形K的q維弱同調群，記為H-q(K)。根據群論知識，可知H-q(K)是一個有限維自由交換群。這為引入自由交換群自同態的跡數創造了條件。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。
同調群
同調群是一個重要的拓撲不變數，它也是同倫型不變數。復形K的鏈群、閉鏈群和邊緣鏈群與多面體|K|的單純剖分有關，因此它們不可能是拓撲不變數。然而閉鏈群關於邊緣鏈群的商群Zq(K)/Bq(K)是與剖分無關的，稱這個商群為K的q維單純同調群，簡稱q維同調群，記為Hq(K)。同調群是交換群。當q<0或q>dim K時，按照鏈群推廣到所有整數維數的規定，有Hq(K)=0.同調群的重要性在於Hq(K)是多面體|K|的同倫型不變數，更是拓撲不變數。它有很多重要套用。同調群中的元素是閉鏈群中的元素按邊緣鏈群的陪集分解的等價類。精確地描述如下：設z和z′為兩個q維閉鏈，若z-z′∈Bq(K)，則稱它們是同調的，記為z～z′。若z為邊緣鏈，即z為Bq(K)的元素，則稱在K上z同調於0或稱z是K上的零調鏈，記為在K上z～0。這種同調關係是Zq(K)上一個等價關係，按同調關係分成的等價類稱為同調類，並且用[z]表示閉鏈z所屬的同調類。
交換群
其運算適合交換律的群，或稱阿貝爾群。挪威數學家阿貝爾在研究高次方程的根式求解時，除了五次方程以外，他討論了更廣一類的方程，現稱之為阿貝爾方程。其全部根都是其中一個根的有理函式，設x1是n次阿貝爾方程的一個根，其全部根則為x1，
其中Qi(i=1，…，n-1)是有理函式，並且對於任意的1≤i≤j≤ n，有Qi(Qj(x1))=Qj(Qi(x1))。後人發現，阿貝爾方程是具有交換律的伽羅瓦群的方程。為了紀念阿貝爾，後人稱交換群為阿貝爾群。
交換群是一般群論中的一個獨特分支。在拓撲學和代數學中常常構造一些交換群，作為討論問題的工具。例如，拓撲學中的基本群、同調群，代數學中的布饒爾群等等。交換群論與代數拓撲學、模論、同調代數、環論等有著密切的聯繫。
邊緣鏈群
鏈群的一個子群。若復形K的一個q維鏈xq是K的一個(q+1)維鏈xq+1的邊緣，即xq=q+1xq+1，則xq稱為q維邊緣鏈。所有K的q維邊緣鏈的集合是Cq+1(K)在邊緣同態q+1下的像Imq+1，稱為復形K的q維邊緣鏈群，記為Bq(K，Z)或簡記為Bq(K)，這裡Z為整數加群。Bq(K)是Cq(K)的子群，由邊緣同態性質得出，Bq(K)也是Zq(K)的子群，即Bq(K)
Zq(K)
Cq(K)。
根據群的同態的定理，由q：Cq(K)→Cq-1(K)可得滿同態q：Cq(K)→Bq-1(K)，其核為Zq(K)，再由同構定理得
Cq(K)/Zq(K)
Bq-1(K)。
復形
復形是組合拓撲的基本概念之一，許多種拓撲空間的研究都可化歸為復形拓撲性質的研究，復形是不同維的正常分布的單純形之總和，即復形中任意兩個單純形，或不相交，或僅具有公共邊界等。此外，復形中單純形所有邊界均屬於單純形，復形中單純形最高維數稱之為復形的維數。
單純復形(simplicial complex)亦稱幾何單純復形，是單純同調論中的一個基本概念，是用單形構造的並且按一定規則組成的圖形，它是定義一類拓撲空間的工具。
下面用單形構造更複雜的圖形——復形：
定義K是單形的有限集合。如果K滿足：
(1) 若σ是K的單形，則σ的任意面都屬於K；
(2) K中所有有單形都規則相處；
那么稱K為單純復形，簡稱復形。K中單形維數的最大值為K的維數，記作
，K的零維單形稱為K的頂點。
