弗洛伊德最短距離算法（Floyd Shortest Path Algorithm）又稱為插點法，是一種利用動態規劃的思想尋找給定的加權圖中多源點之間最短路徑的算法。該算法名稱以創始人之一、1978年圖靈獎獲得者、史丹福大學計算機科學系教授羅伯特·弗洛伊德命名。
基本介紹
- 中文名：弗洛伊德最短距離算法
- 外文名：Floyd Shortest Path Algorithm
- 所屬學科：IT
- 所屬領域：程式設計
簡介,算法思想,路徑矩陣,狀態轉移方程,算法過程,複雜度,算法實現,C語言,C++語言,MATLAB語言,Java語言,
簡介
最短路問題是網路最最佳化中一個基本而又非常重要的問題，這一問題相對比較簡單，在實際生產和生活中經常遇到，許多的網路最最佳化問題可以化為最短路問題，或者用最短路算法作為其子程式.因此，最短路的用途已遠遠超出其表面意義迄今為止，所有最短路算法都只對不含負迴路的網路有效，實際上對含有負迴路的網路，其最短路問題是NP困難的，因此本研究所討論的網路也不含負迴路.此外，如果將無向圖每條邊用兩條端點相同、方向相反的弧來代替，可以將其化為有向圖，因而不討論無向圖.本研究中未述及的術語、記號可參見文獻。
Floyd算法是一種用於尋找給定加權圖中頂點間最短路徑的算法，以1978年圖靈獎獲得者史丹福大學計算機科學系教授RobertW．Floyd命名。Floyd算法採用動態規劃的原理計算兩兩頂點間最短路徑[3]，主要解決網路路由尋找最優路徑的問題。
算法思想
路徑矩陣
從圖的帶權鄰接矩陣A=[a(i,j)] n×n開始，遞歸地進行n次更新，即由矩陣D(0)=A，按一個公式，構造出矩陣D(1)；又用同樣地公式由D(1)構造出D(2)；……；最後又用同樣的公式由D(n-1)構造出矩陣D(n)。矩陣D(n)的i行j列元素便是i號頂點到j號頂點的最短路徑長度，稱D(n)為圖的距離矩陣，同時還可引入一個後繼節點矩陣path來記錄兩點間的最短路徑。
採用鬆弛技術（鬆弛操作），對在i和j之間的所有其他點進行一次鬆弛。所以時間複雜度為O(n^3);
狀態轉移方程
其狀態轉移方程如下：
map[i,j]:=min{map[i,k]+map[k,j],map[i,j]}；
map[i,j]表示i到j的最短距離，K是窮舉i,j的斷點，map[n,n]初值應該為0，或者按照題目意思來做。
當然，如果這條路沒有通的話，還必須特殊處理，比如沒有map[i,k]這條路。
算法過程
1，從任意一條單邊路徑開始。所有兩點之間的距離是邊的權，如果兩點之間沒有邊相連，則權為無窮大。
2，對於每一對頂點 u 和 v，看看是否存在一個頂點 w 使得從 u 到 w 再到 v 比已知的路徑更短。如果是更新它。
把圖用鄰接矩陣G表示出來，如果從Vi到Vj有路可達，則G[i][j]=d，d表示該路的長度；否則G[i][j]=無窮大。定義一個矩陣D用來記錄所插入點的信息，D[i][j]表示從Vi到Vj需要經過的點，初始化D[i][j]=j。把各個頂點插入圖中，比較插點後的距離與原來的距離，G[i][j] = min( G[i][j], G[i][k]+G[k][j] )，如果G[i][j]的值變小，則D[i][j]=k。在G中包含有兩點之間最短道路的信息，而在D中則包含了最短通路徑的信息。
比如，要尋找從V5到V1的路徑。根據D，假如D(5,1)=3則說明從V5到V1經過V3，路徑為{V5,V3,V1}，如果D(5,3)=3，說明V5與V3直接相連，如果D(3,1)=1，說明V3與V1直接相連。
複雜度
時間複雜度：O(n^3)
空間複雜度：O(n^2)
算法實現
C語言
#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#define max 1000000000 int d[1000][1000],path[1000][1000];int main(){ int i,j,k,m,n; int x,y,z; scanf("%d%d",&n,&m); for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++){ d[i][j]=max; path[i][j]=j; } for(i=1;i<=m;i++) { scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); d[x][y]=z; d[y][x]=z; } for(k=1;k<=n;k++) for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) { if(d[i][k]+d[k][j]<d[i][j]) { d[i][j]=d[i][k]+d[k][j]; path[i][j]=path[i][k]; } } for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=i;j++) if (i!=j) printf("%d->%d:%d\n",i,j,d[i][j]); int f, en; scanf("%d%d",&f,&en); while (f!=en) { printf("%d->",f); f=path[f][en]; } printf("%d\n",en); return 0;}C++語言
#include<iostream>#include<vector>using namespace std;const int &INF=100000000;void floyd(vector<vector<int> > &distmap,//可被更新的鄰接矩陣，更新後不能確定原有邊 vector<vector<int> > &path)//路徑上到達該點的中轉點//福利：這個函式沒有用除INF外的任何全局量，可以直接複製！{ const int &NODE=distmap.size();//用鄰接矩陣的大小傳遞頂點個數，減少參數傳遞 path.assign(NODE,vector<int>(NODE,-1));//初始化路徑數組 for(int k=1; k!=NODE; ++k)//對於每一個中轉點 for(int i=0; i!=NODE; ++i)//枚舉源點 for(int j=0; j!=NODE; ++j)//枚舉終點 if(distmap[i][j]>distmap[i][k]+distmap[k][j])//不滿足三角不等式 { distmap[i][j]=distmap[i][k]+distmap[k][j];//更新 path[i][j]=k;//記錄路徑 }}void print(const int &beg,const int &end, const vector<vector<int> > &path)//傳引用，避免拷貝，不占用記憶體空間 //也可以用棧結構先進後出的特性來代替函式遞歸 { if(path[beg][end]>=0) { print(beg,path[beg][end],path); print(path[beg][end],end,path); } else cout<<"->"<<end;}int main(){ int n_num,e_num,beg,end;//含義見下 cout<<"（不處理負權迴路）輸入點數、邊數："; cin>>n_num>>e_num; vector<vector<int> > path, distmap(n_num,vector<int>(n_num,INF));//默認初始化鄰接矩陣 for(int i=0,p,q; i!=e_num; ++i) { cout<<"輸入第"<<i+1<<"條邊的起點、終點、長度（100000000代表無窮大，不聯通）："; cin>>p>>q; cin>>distmap[p][q]; } floyd(distmap,path); cout<<"計算完畢，可以開始查詢，請輸入出發點和終點："; cin>>beg>>end; cout<<"最短距離為"<<distmap[beg][end]<<"，列印路徑："<<beg; print(beg,end,path);}MATLAB語言
function Floyd(w,router_direction,MAX)%w為此圖的距離矩陣%router_direction為路由類型：0為前向路由；非0為回溯路由%MAX是數據輸入時的∞的實際值len=length(w);flag=zeros(1,len);%根據路由類型初始化路由表R=zeros(len,len);for i=1:lenif router_direction==0%前向路由R(:,i)=ones(len,1)*i;else %回溯路由R(i,:)=ones(len,1)*i;endR(i,i)=0;enddisp('');disp('w(0)');dispit(w,0);disp('R(0)');dispit(R,1);%處理端點有權的問題for i=1:lentmp=w(i,i)/2;if tmp~=0w(i,:)=w(i,:)+tmp;w(:,i)=w(:,i)+tmp;flag(i)=1;w(i,i)=0;endend%Floyd算法具體實現過程for i=1:lenfor j=1:lenif j==i || w(j,i)==MAXcontinue;endfor k=1:lenif k==i || w(j,i)==MAXcontinue;endif w(j,i)+w(i,k)<w(j,k) %Floyd算法核心代碼w(j,k)=w(j,i)+w(i,k);if router_direction==0%前向路由R(j,k)=R(j,i);else %回溯路由R(j,k)=R(i,k);endendendend%顯示每次的計算結果disp(['w(',num2str(i),')'])dispit(w,0);disp(['R(',num2str(i),')'])dispit(R,1);end%中心和中點的確定[Center,index]=min(max(w'));disp(['中心是V',num2str(index)]);[Middle,index]=min(sum(w'));disp(['中點是V',num2str(index)]);endfunction dispit(x,flag)%x：需要顯示的矩陣%flag：為0時表示顯示w矩陣，非0時表示顯示R矩陣len=length(x);s=[];for j=1:lenif flag==0s=[s sprintf('%5.2f\t',x(j,:))];elses=[s sprintf('%d\t',x(j,:))];ends=[s sprintf('\n')];enddisp(s);disp('---------------------------------------------------');end% 選擇後按Ctrl+t取消注釋號%%% 示例：% a=[% 0,100,100,1.2,9.2,100,0.5;% 100,0,100,5,100,3.1,2;% 100,100,0,100,100,4,1.5;% 1.2,5,100,0,6.7,100,100;% 9.2,100,100,6.7,0,15.6,100;% 100,3.1,4,100,15.6,0,100;% 0.5,2,1.5,100,100,100,0% ];%% b=[% 0,9.2,1.1,3.5,100,100;% 1.3,0,4.7,100,7.2,100;% 2.5,100,0,100,1.8,100;% 100,100,5.3,0,2.4,7.5;% 100,6.4,2.2,8.9,0,5.1;% 7.7,100,2.7,100,2.1,0% ];%% Floyd(a,1,100)% Floyd(b,1,100)Java語言
//以無向圖G為入口，得出任意兩點之間的路徑長度length[i][j]，路徑path[i][j][k]，//途中無連線得點距離用0表示，點自身也用0表示public class FLOYD {int[][] length = null;// 任意兩點之間路徑長度int[][][] path = null;// 任意兩點之間的路徑public FLOYD(int[][] G) {int MAX = 100;int row = G.length;// 圖G的行數int[][] spot = new int[row][row];// 定義任意兩點之間經過的點int[] onePath = new int[row];// 記錄一條路徑length = new int[row][row];path = new int[row][row][];for (int i = 0; i < row; i++)// 處理圖兩點之間的路徑for (int j = 0; j < row; j++) {if (G[i][j] == 0)G[i][j] = MAX;// 沒有路徑的兩個點之間的路徑為默認最大if (i == j)G[i][j] = 0;// 本身的路徑長度為0}for (int i = 0; i < row; i++)// 初始化為任意兩點之間沒有路徑for (int j = 0; j < row; j++)spot[i][j] = -1;for (int i = 0; i < row; i++)// 假設任意兩點之間的沒有路徑onePath[i] = -1;for (int v = 0; v < row; ++v)for (int w = 0; w < row; ++w)length[v][w] = G[v][w];for (int u = 0; u < row; ++u)for (int v = 0; v < row; ++v)for (int w = 0; w < row; ++w)if (length[v][w] > length[v][u] + length[u][w]) {length[v][w] = length[v][u] + length[u][w];// 如果存在更短路徑則取更短路徑spot[v][w] = u;// 把經過的點加入}for (int i = 0; i < row; i++) {// 求出所有的路徑int[] point = new int[1];for (int j = 0; j < row; j++) {point[0] = 0;onePath[point[0]++] = i;outputPath(spot, i, j, onePath, point);path[i][j] = new int[point[0]];for (int s = 0; s < point[0]; s++)path[i][j][s] = onePath[s];}}}void outputPath(int[][] spot, int i, int j, int[] onePath, int[] point) {// 輸出i// 到j// 的路徑的實際代碼，point[]記錄一條路徑的長度if (i == j)return;if (spot[i][j] == -1)onePath[point[0]++] = j;// System.out.print(" "+j+" ");else {outputPath(spot, i, spot[i][j], onePath, point);outputPath(spot, spot[i][j], j, onePath, point);}}public static void main(String[] args) {int data[][] = {{ 0, 27, 44, 17, 11, 27, 42, 0, 0, 0, 20, 25, 21, 21, 18, 27, 0 },// x1{ 27, 0, 31, 27, 49, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 52, 21, 41, 0, 0 },// 1{ 44, 31, 0, 19, 0, 27, 32, 0, 0, 0, 47, 0, 0, 0, 32, 0, 0 },// 2{ 17, 27, 19, 0, 14, 0, 0, 0, 0, 0, 30, 0, 0, 0, 31, 0, 0 },// 3{ 11, 49, 0, 14, 0, 13, 20, 0, 0, 28, 15, 0, 0, 0, 15, 25, 30 },// 4{ 27, 0, 27, 0, 13, 0, 9, 21, 0, 26, 26, 0, 0, 0, 28, 29, 0 },// 5{ 42, 0, 32, 0, 20, 9, 0, 13, 0, 32, 0, 0, 0, 0, 0, 33, 0 },// 6{ 0, 0, 0, 0, 0, 21, 13, 0, 19, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 },// 7{ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 19, 0, 11, 20, 0, 0, 0, 0, 33, 21 },// 8{ 0, 0, 0, 0, 28, 26, 32, 0, 11, 0, 10, 20, 0, 0, 29, 14, 13 },// 9{ 20, 0, 47, 30, 15, 26, 0, 0, 20, 10, 0, 18, 0, 0, 14, 9, 20 },// 10{ 25, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 20, 18, 0, 23, 0, 0, 14, 0 },// 11{ 21, 52, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 23, 0, 27, 22, 0, 0 },// 12{ 21, 21, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 27, 0, 0, 0, 0 },// 13{ 18, 41, 32, 31, 15, 28, 0, 0, 0, 29, 14, 0, 22, 0, 0, 11, 0 },// 14{ 27, 0, 0, 0, 25, 29, 33, 0, 33, 14, 9, 14, 0, 0, 11, 0, 9 },// 15{ 0, 0, 0, 0, 30, 0, 0, 0, 21, 13, 20, 0, 0, 0, 0, 9, 0 } // 16};for (int i = 0; i < data.length; i++)for (int j = i; j < data.length; j++)if (data[i][j] != data[j][i])return;FLOYD test=new FLOYD(data);for (int i = 0; i < data.length; i++)for (int j = i; j < data[i].length; j++) {System.out.println();System.out.print("From " + i + " to " + j + " path is: ");for (int k = 0; k < test.path[i][j].length; k++)System.out.print(test.path[i][j][k] + " ");System.out.println();System.out.println("From " + i + " to " + j + " length :"+ test.length[i][j]);}}}