廣義高斯-格林公式

廣義高斯-格林公式（廣義高斯-格林公式）是一般高斯-格林公式在測度積分形式下的推廣。

基本介紹

• 中文名：廣義高斯-格林公式
• 外文名：Generalized Gauss-Greenformula
• 適用範圍：數理科學

簡介

高斯-格林公式

利用密度概念可以定義的另一個重要概念是集合在一點處的外法線，當所論集合有光滑邊界時，這個概念很直觀，在一般情形則較為複雜。給定點集Q與測度v，可以定義一個新的測度v∟Q如下：對於集合G，規定G關於v∟Q的測度v∟Q(G)=v(Q∩G)。因此，Rⁿ中集合A在一點b處的外法向量是如下定義的一個單位向量u=n(A,b)，它使得對於

有

定義

上述概念只含點集A關於μ_n的測度性質，而不需要預先知道A的幾何性質，甚至連邊界的概念也未提到，鑒於這樣廣義的概念，使人們可將古典的高斯-格林公式推廣到相當一般的形式：設A為Rⁿ中的子集，

如果對於每個緊集，則對於Rⁿ上每個有緊支集的李普希茨一階向量場ξ，有

此處表示內積。

另一方面，若以Bd A記A的普通邊界，則當對於Rⁿ中的每個緊集K，都有

時，上述條件滿足，從而上述廣義高斯-格林定理成立。

測度

數學上，測度（Measure）是一個函式，它對一個給定集合的某些子集指定一個數，這個數可以比作大小、體積、機率等等。傳統的積分是在區間上進行的，後來人們希望把積分推廣到任意的集合上，就發展出測度的概念，它在數學分析和機率論有重要的地位。

定義1：構造一個集函式，它能賦予實數集簇М中的每一個集合E一個非負擴充實數mE。我們將此集函式稱為E的測度。

定義2：設Γ是集合X上一σ代數，ρ ：Γ →R∪{ +∽ }是一集合函式，且ρ滿足：

（1）（非負性）對任意的A∈Γ，有ρ(A)≧0;

（2）（規範性）ρ(Φ) = 0；

（3）（完全可加性） 對任意的一列兩兩不交集合A1，A2，……，An，……有ρ(∪n An)=∑n ρ（An）

則稱ρ是定義在X上的一個測度，Γ中的集合是可測集，不在Γ中的集合是不可測集。特別的，若ρ(X) = 1 ，則稱ρ為機率測度。