基本介紹
- 中文名：廣義協調元
- 外文名：eneralized conforming element
- 提出者：龍馭球、辛克貴
- 提出時間：1987年
- 性質：一種基於勢能原理的位移元
- 優點：自由度少，精度高，程式簡便
簡介,理論基礎,領域開拓,主創人員,內容,特點,
簡介
廣義協調元，是由清華大學龍馭球與辛克貴在20世界80年代首創的，是有限元領域中一大突破。 廣義協調元的優點是：自由度少，精度高，程式簡便，在任意格線劃分下通過分片檢驗，收斂於精確解。它為薄板彎曲和其它要求C1連續性問題提供一個簡單高效和可靠的單元。
廣義協調元於1987年提出，歷經了二十年的發展。當中先後在龍馭球院士的指引下，龍志飛、須寅、岑松等學者又對廣義協調元進行了完善和發展，形成了新型有限元體系。
理論基礎
廣義協調元是在傳統的協調元與非協調元之間另闢一條新路。它是一種保證收斂的極限協調元。與它相應的變分原理具有二重性，以分區勢能原理作為出發點，以勢能原理作為歸宿。它的方法特點是能量法與加權殘值法的結合。
領域開拓
廣義協調法首先在薄板元方面形成5個系列，提出25種新型薄板元，然後在厚板元、等參元、含轉角自由度的膜元、薄殼元、Ferguson曲面法元、P型元、穩定，振動、幾何非線性、廣義面積坐標法等十個領域加以移植，開拓套用領域。
主創人員
[創始人]：龍馭球、辛克貴；
[完善發展]：龍志飛、須寅、岑松等；
內容
基於最小勢能原理的位移協調元套用最廣，方法和程式最為簡便，但在薄板彎曲等C1類問題中遇到麻煩，由此引起了巨大興趣，產生了多種有限元新模型。
Irons等認為單元間位移完全協調的要求是太苛刻了。實際上，只需單元能夠通過“分片檢驗”，位移非協調元也可採用，並收斂於正確解。Adini,Clough,Melosh提出一個矩形薄板非協調元(記為ACM元)，效果良好。也有文獻提出一個三角形薄板非協調元(記為BCIZ元)，對於某種格線，其精度比某些協調元還要好些，可惜對於另種格線卻不能通過分片檢驗，不能收斂於正確解。
對於薄板彎曲問題還出現不少好的有限元模型，如雜交應力元，離散法線元和擬協調元。
提出一種基於勢能原理的廣義協調元。對於粗格線，在平均位移的意義上能保證單元間的位移協調。當格線無限細分時，即能保證單元間的位移協調。
廣義協調位移元的作法與位移元常規作法只有微小的差別。以薄板為例，位移元常規作法包含如下步驟：
第一步：選取單元的結點位移向量{q}。單元內的撓度場ω設為多項式：
其中，{λ}為多項式的待定係數。
第二步：建立{q}與{λ}之間的關係。令相鄰單元在公共結點處的結點位移相等（都等於{q}），即得{λ}與{q}的關係式如下：
第三步：根據曲率{n}與撓度ω的微分關係，{n}可用{q}表示為
在廣義協調元的作法中，第一步與第三步同前，只是第二步不同。這裡我們套用相鄰單元在公共邊處的平均位移相等這類廣義協調條件來建立{q}與{λ}的關係：
由此看出，廣義協調元與常規位移元在作法上的唯一區別在於用式（2）代替式（1）。換句話說式(1)是著眼於滿足相鄰單元在公共結點處的點協調，因而很難同時滿足在公共邊處的邊協調；式(2)不是著眼於滿足點協調，而是直接著眼於滿足公共邊處的平均位移協調。因此廣義協調元的要點是用平均位移的邊協調來替代常規位移法中的點協調。
廣義協調元保留了非協調元的優點(自由度少，程式簡便)，消去了非協調元的缺點(非協調元不一定能通過分片驗檢，而廣義協調元定能通過分片檢驗，保證收斂)。
建立廣義協調元的一個重要問題是合理選擇廣義協調條件，使[C]和[G]為可逆矩陣。
特點
廣義協調元為薄板彎曲和其他要求C1連續性向題提供一個簡便、高效和可靠的單元。
1.簡便——在變分原理方面，以熟知的勢能駐值原理為基礎，而不是基於廣義變分原理，因而無需處理“多種變數的合理匹配”以及“零能變形模式”等複雜問題。在推導方法方面，與常規位移型單元基本相同，唯一的區別只是用平均位移的邊協調來替代常規的點協調。在程式實施方面也很簡便，可以沿用常規位移型單元的程式，只需作少量修改。
2.高效——在薄板彎曲和穩定分析中，以最少的自由度，低階的位移模式，即可得到高精度的結果。它是薄板彎曲和穩定分析最有效的單元之一。
3.可靠——當格線細分時，單元間的位移連續性能夠得到實現。此單元對於不規則格線能通過分片檢驗，收斂性得到保證，對單元形狀不敏感。
