設m，n為正整數，p為素數，則C(下m+n上m)含p的冪次等於m+n在p進制下的進位次數。
基本介紹
- 中文名：庫默爾定理
- 外文名：Kummer Theorem
- 別稱：庫莫爾定理
- 套用學科：數論
簡要證明,套用舉例,
簡要證明
組合數
所含p的冪次數為
=
這是因為組合數公式
以及n！含有素數p的冪次公式vp(n!)=
。
對於某個p^i，
等於m在p進制表示下去掉後i位，在第i+1位上，m+n在這一位上進位的充要條件是
=1，不進位則 =0.因此 就是m+n在p進制下的進位次數。
套用舉例
例 （2014 CMO30，4，21分）求具有下述性質的所有整數k：存在無窮多個正整數n，使得n+k不整除
。
解 ∵
=
=
,
∴
= - 是整數，
∴n+1| 對任意正整數n成立，從而1不滿足要求。
當k≤0時，取n=p-k（p為奇素數，p>-2k），滿足要求。
當k≥2時，取k的一個素因子p，選取正整數m使得p^m>k，令n=p^m-k，我們證明：n+k不整除 。
顯然有n>0，由n<p^m知n在p進制下最多m位，∵p|k，p|p^m，∴p|n。∴在p+1進制下n個位為0.
∴2n=n+n最多進位m-1次。由庫默爾定理， 最多有m-1個p，∵n+k=p^m，∴
