距離幾何是現代幾何學的一個分支，它的研究對象是定義了距離的幾何空間，其最初的任務是藉助於定義在某些空間上的距離對這些空間進行分類，後來的發展超出了這個框架。
度量凸(metrically convex)是距離幾何的一個概念。它是半度量空間的一種類似於一般的凸性但稍弱些的性質。此概念是門傑(Menger，K.)引進的。
基本介紹
- 中文名：度量凸
- 外文名：metrically convex
- 領域：數學
- 學科：距離幾何
- 空間：半度量空間
- 引進人：門傑（Menger,K.）
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概念
度量凸(metrically convex)是距離幾何的一個概念。它是半度量空間的一種類似於一般的凸性但稍弱些的性質。此概念是門傑(Menger，K.)引進的。一個半度量空間(S，d)稱為度量凸的，若對於其中任意兩個不同的點x，z總能找到一點y，使得y≠x，z而且d(x，y)+d(y，z)=d(x，z)。
例如，實軸上全部有理點按常義的距離構成一個半度量空間，這空間按上面的定義顯然是度量凸的。但它不是通常意義下的凸集。
距離幾何
距離幾何是現代幾何學的一個分支，它的研究對象是定義了距離的幾何空間，其最初的任務是藉助於定義在某些空間上的距離對這些空間進行分類，後來的發展超出了這個框架。距離幾何一詞得名於當代美國數學家布盧門塔爾(Blumenthal，L.M.)，他是《距離幾何的理論和套用》一書的作者，該書被公認為本領域的奠基性著作。他於1938年首先以《距離幾何》作為一篇論文的標題，該名稱隨即被沿用至今。
距離的一般概念比日常生活中的距離概念及數學中的度量概念要廣泛些。設S是一個集，F是一個域，甚至更一般地，F是一個抽象群或有序集。一個映射d：S×S→F稱為定義在S上的一個抽象距離，而(S，d)就稱為一個抽象距離空間或簡稱一個距離空間。特別地，在上述定義中，若F是實數域而距離函式d滿足以下條件，即對於p，q∈S有：
1.d(p，q)=d(q，p);
2.d(p，q)≥0，而d(p，q)=0若且唯若p=q;則將d稱為S上的一個半度量，而稱(S，d)為一個半度量空間。
若距離函式d還滿足三角形不等式，即對於p，q，r∈S，成立著
3.d(p，q)+d(q，r)≥d(p，r);
則稱(S，d)是一個度量空間。
兩個距離空間(S，d)和(S*，d*)之間的一個雙射f：S→S*稱為一個契約或稱為等長，若p，q∈S成立著
d*(f(p)，f(q))=d(p，q).
當然契約的概念也可以限制在兩空間的子集上來使用，特別是當S與S*之間不存在全空間契約對應的情形。
度量空間
度量空間亦稱距離空間。一種拓撲空間，其上的拓撲由距離決定。設R是一個非空集合，ρ(x，y)是R上的二元函式，滿足如下條件：
1.ρ(x，y)≥0且ρ(x，y)=0⇔x=y;
2.ρ(x，y)=ρ(y，x);
3.(三角不等式)ρ(x，y)≤ρ(x，z)+ρ(y，z);
則稱ρ(x，y)為兩點x，y之間的距離，R按距離ρ成為度量空間或距離空間，記為(R，ρ)。設A是R的子集，則A按R中的距離ρ也成為度量空間，稱為R的(度量)子空間。如果把上述距離的條件1改為ρ(x，y)≥0且ρ(x，x)=0，則稱ρ為R上的擬距離。當ρ(x，y)=0時，記x～y.～是R上的一個等價關係，記商集(即等價類全體)為D=R/～，在D上作二元函式ρ～：ρ～(x～，y～)=ρ(x，y)(x∈x～，y∈y～)，則ρ～是D上的距離，而(D，ρ～)稱為R按擬距離ρ導出的商(度量)空間。
度量空間(R，ρ)中的子集A稱為有界的，如果對x0∈R，存在常數M，使ρ(x0，x)≤M對A中的一切x成立.設x0∈R，r>0，則稱集合{x|x∈R，ρ(x，x0)<r}為以x0為中心，r為半徑的開球，或x0的r鄰域，記為O(x0，r).又設A⊂R，若對任何x∈A，存在x的某個鄰域O(x，r)⊂A，則A稱為開集;而稱開集的補集為閉集.R中包含子集A的最小閉集就稱為A的閉包。
凸集
設C是R的子集，如果對任意兩點x∈C，x∈C，連結它們的線段仍在C中，即若x，x∈C，則α1x+α2x∈C，α1+α2=1，α1≥0，α2≥0，稱C為凸集。
空集，單個點，圓盤，實心三角形，全空間R都是凸集。
超平面 H={x：x∈R，Cx=b};
閉半空間 H0={x：x∈R，Cx≥b};
開半空間 H0={x：x∈R，Cx>b};
超球 Sα(x0)={x：ㄧx∈R，‖x-x0‖≤α}；α為已知數，x0∈R，這些都是凸集，其中b是已知數，C是已知向量且不為0。
極點：若凸集C中的點x不能成為C中任何線段的內點，稱x為C的極點。極點一定是邊界點。四面體的頂點，圓周上的點都是極點。
凸集可用如下代數性質來刻畫：
C⊂R為凸集，點x，x…，xn∈C，則它們的凸組合x=α1x+α2x+…+αnxn∈C，其中，之亦真。
凸集的交仍是凸集，如果C，D是R中的兩個凸集，則C+D={x+y|x∈C，y∈D}和λC={λx|x∈C}都是凸集。
