《幾何數值積分及其在常微分方程和偏微分方程中的套用》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由孫雅娟擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：幾何數值積分及其在常微分方程和偏微分方程中的套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：孫雅娟
- 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
許多來源於工程和物理中的問題，系統本身具有能量、動量等守恆特徵。構造數值算法保持系統的這些守恆特徵是解決問題的關鍵。 這類算法被稱為幾何數值積分或保結構算法，它遵循的基本準則是：數值算法應儘可能多的保持原系統的本質特徵。 本項目主要針對常微分方程系統和偏微分方程系統，研究和構造保持系統相應特徵的數值方法。 對哈密頓系統和保能量系統，研究時間有限元；建立時間有限元和保結構算法之間的關係；構造保能量和共軛辛的數值算法。對可積的常微分方程，研究可積離散和保持系統多個守恆律的數值算法。 對多辛哈密頓系統，結合系統的守恆特徵研究保能量算法和多辛算法。 特別是對多辛算法， 研究高階Runge-Kutta方法對偏微分方程的空間離散；研究半離散系統的誤差和數值色散。對Maxwell方程研究分裂方法，根據Maxwell方程的結構特點對系統進行不同分裂，研究分裂組合方法的最優係數和穩定性。
結題摘要
本項目圍繞保結構算法進行了構造和理論分析，發展了它在孤立波方程，電漿物理方程模擬中的套用。主要成果是：對哈密頓系統和具有守恆的能量系統，研究了時間有限元方法，並建立了時間有限元和保結構算法之間的關係；對可積的三維Lotka-Volterra系統通過修正方程建立了可積離散和保持系統多個守恆律的數值算法之間的相關理論和分析； 對一般的多辛哈密頓系統， 研究了高階Runge-Kutta方法對偏微分方程的空間離散，並深入分析了半離散系統的誤差和數值色散；研究了電漿物理模型的Poisson結構，並通過分裂方法構造了相應的數值格式。
