希爾伯特的《幾何基礎》把幾何學引進了一個更抽象的公理化系統，把幾何重新定義，不但把傳統的歐幾里得的《幾何原本》改良，更把幾何學從一種具體的特定模型上升為抽象的普遍理論。
基本介紹
- 中文名：幾何基礎
- 外文名：foundations of geometry
- 學科：數學
簡介,幾何基礎的起源,幾何基礎的主要體系,
簡介
歐幾里得的《幾何原本》為幾何學奠下了基礎，但隨著數學不斷的發展，數學家對《幾何原本》再嚴謹審視下，犁戲愉便發現當中不完備之處，例如：「點是沒有部分的」中，什麼叫「部分」？「直線是它上面的點一樣的平放著的線」中，什麼叫「平放」？當然還有最受爭議的第五公設（平行公設）。這些問題困擾著數學家多年，他們希望可將《幾何原本》的定義、公設員宙和公理加以改善，但因為幾何學有堅實的基礎，且有不少互相關聯的分支，如：雙曲幾何、球面幾何、射影幾何等等，更使數學家不可只關心個別的公理或定義，而必須提供一整套關於概念和公理、定理的嚴密的系統，那是一件極艱巨的工作。
幾何基礎的起源
雖然如此，但也有不少的數學家作出了貢獻，當中希爾伯特所槳遙才腳著的《幾何基礎》（Grundlagen der Geometrie）便是集大成之作。《幾何基礎》的第一版於1899年出版，後來經多次的修改，目前一般引用1930年出版的第七版。希爾伯特在這書中對歐幾里得幾何及有關幾何的公理系統進行寒臘定霸了深入的研究。他不僅對歐幾里得幾何提供了完善的公理體系，還給出證明一個公理對別的公理的獨立性以及一個公理體系確實為完備的普遍原則。
他把幾何進一步公理化，首先他敘述一些不加定義基本概念，構想有三組不同的東西，分別叫點、直線和平面，統稱為「幾何元素」，而它們之間的關係須滿足一定的公理要求，則稱這些幾何元素的集合為「幾何空間」。這樣，不同的幾何便是滿足不同公理要求的幾何元素的集合，亦因此把幾何里那些與感性的感覺有關的東西去掉，只保留抽象的邏輯骨架，不但不會喪失現實的基礎，反而擴大了幾何命題的範圍。
該書於1899年由萊比錫—斯圖加特托布納出版社出版。後來進行多次修改再版，於1930年出版第7版。作乎轎己者去世以後，又出過第8、9、10版。俄譯本1948年出版，格拉德斯坦譯。中譯本1958年出版，江澤涵等譯。
本書共7章，中譯本約20萬字，內有5類公理(關聯公理、次序公理、全合公理、平行公理、連續公理);公理的相容性和互相獨立性;比例論;平面中的面積論;德沙格定理;巴斯格爾定理;根據公理Ⅰ—Ⅳ的幾何作圖等7章內容。全書成功地建立了歐幾里德幾何的完整的公理體系(即希爾伯特公理體系)，把幾何的基本對象叫做點、直線、平面，然後用5組公理確定了基本幾何對象的性質，並且邏輯地推出了歐幾里德幾何的所有定理，使歐幾里德幾何成為一個邏輯結構非常完善而嚴謹的幾何體系。本書成功地建立了希爾伯特公理體系，不僅使歐幾里檔煮戀德幾何的完善工作告一段落，而且使數學公理法基本形成，促使20世紀整個數學有了較大的發展。
幾何基礎的主要體系
歐幾里得幾何可以化為下列的五組共二十條公理的體系：
第一組 接合公理 共八條，說明三組幾何對象點、直線和平面之間的一種接合的關係。
第二組 順序公理 共四條，說明直線上的點的相互關係。
第三組 契約公理 共五條，主要為處理圖形的移動而引進的。
第四組 連續公理 共兩條，說明直線的連續關係。
第五組 平行公理 只有一條，說明兩直線間的平行關係。
而這五組的公理也滿足了公理體系的三個基本要求，即相容性、獨立性和完備性。如果把這五組的公理稍作增減，便得出其他不同的幾何空間，例如把平行公理中的歐幾里得平行公理換為羅巴切夫斯基平行公理，那便把「歐幾里得空間和閥員」換為「羅巴切夫斯基空間」。另外，滿足前四組公理的幾何，我們稱之為「絕對幾何」（Absolute Geometry）。
