幾何問題中出現的不等式稱為幾何不等式。常常表現為角的大小，線段的長短，面積的多少等. 在幾何不等式的證明中，將綜合運用到我們所學的很多知識，但最首要的是要注意運用幾何中基本的不等關係和一些重要定理．證明不等式，視其論證過程中，以運用何種知識為主，大致分為三種方法：幾何方法；三角方法；代數方法。
基本介紹
- 中文名：幾何不等式
- 套用學科：數學
證明方法,類型,
證明方法
證明幾何不等式的方法大致有三種：幾何方法，代數方法，三角方法。
幾何方法：通過一些變化或者平移旋轉來證明。
代數方法：也就是方程。
三角方法（函式法）：利用三角函式來證明。
類型
Ptolemy（托勒密）不等式
若ABCD為四邊形，則AB×CD+AD×BC≥ AC×BD。等號成立ÛA,B,C,D四點共圓
證明：
在任意四邊形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD
因為△ABE∽△ACD
所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)
又有比例式AB/AC=AE/AD
而∠BAC=∠DAE
所以△ABC∽△AED相似.
BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)
(1)+(2),得
AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC
又因為BE+ED≥BD
僅在四邊形ABCD是某圓的內接四邊形時，等號成立，即“托勒密定理”）
所以命題得證
Erdos（埃爾多斯）不等式
設P是ΔABC內任意一點，P到ΔABC三邊BC,CA,AB的距離分別為PD=p,PE=q,PF=r，記PA=x,PB=y,PC=z。則
x+y+z≥2*(p+q+r)
證明：
設P是ΔABC內任意一點，P到ΔABC三邊BC,CA,AB的距離分別為PD=p,PE=q,PF=r，記PA=x,PB=y,PC=z。則
x+y+z≥2*(p+q+r)
證法二 因為P,E,A,F四點共圓，PA為直徑，則有:EF=PA*sinA。
在ΔPEF中，據餘弦定理得:
EF^2=q^2+r^2-2*q*r*cos(π-A)=q^2+r^2-2*q*r*cos(B+C)
=(q*sinC+r*sinB)^2+(q*cosC-r*cosB)^2≥(q*sinC+r*sinB)^2，
所以有 PA*sinA≥q*sinC+r*sinB，即
PA=x≥q*(simC/sinA)+r*(sinB/sinA) (1)。
同理可得:
PB=y≥r*(sinA/sinB)+p*(sinC/sinB) (2)，
PC=z≥p*(sinB/sinC)+q*(sinA/sinC) (3)。
(1)+(2)+(3)得:
x+y+z≥p*(sinB/sinC+sinC/sinB)+q*(simC/sinA+sinA/sinC)+r*(sinA/sinB+sinB/sinA)≥2*(p+q+r)。命題成立。
Weitzenberk（外森比克）不等式
若a,b,c為三角形三邊長，S是三角形面積,
則：a^2+b^2+c^2≥(4√3)S
等號成立若且唯若ABC為等邊三角形。
定理證明如下： 由海倫公式，三角形面積可表示為：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],其中p=(a+b+c)/2
則：4S=√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]
由於三角形任意兩邊之和大於第三邊，所以根號里各項都是正數，
由均值不等式可得：
4S=√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]
≤√{(a+b+c)([(-a+b+c)+(a-b+c)+(a+b-c)]/3)^3}
=√{(a+b+c)[(a+b+c)/3]^3}=(a+b+c)^2/(3√3)
=[3(a^2+b^2+c^2)-(a-b)^2-(b-c)^2-(ca)^2]/(3√3)
≤(a^2+b^2+c^2)/(√3)
即：4S≤(a^2+b^2+c^2)/(√3)
整理得
a^2+b^2+c^2≥(4√3)S 證畢。
若且唯若a=b且c=π/3即三角形ABC為正三角形時取等。
Euler（歐拉）不等式
設△ABC外接圓與內切圓的半徑分別為R、r，則R≥2r,若且唯若△ABC為正三角形時取等號。
證明：
由歐拉定理，d=sqrt(R(R-2r)),又d>0,
所以R-2r≥0,即R≥2r.
若且唯若d=0即內心與外心重合時取等。
此時三角形ABC為正三角形。
Fermat（費馬）問題
在△ABC中，使PA+PB+PC為最小的平面上的P點稱為費馬點。當每個內角均小於120時，則與三邊張角為120的P點為費馬點。
等周定理（等周不等式）
①周長一定的所有圖形中，圓的面積最大；面積一定的所有圖形中，圓的周長最小。
②周長一定的所有n邊形中，正n邊形的面積最大；面積一定的所有n邊形中，正n邊形的周長最小。
