在幾何學中,埃爾德什-莫德爾不等式是一個二十世紀初期發現的不等式。埃爾德什-莫德爾不等式說明了:對於任何三角形ABC和其內部的一點O,點O到三角形三條邊的距離之和總是小於或等於點O到三角形的三個頂點的距離之和的一半。
埃爾德什-莫德爾不等式可以認為是幾何學中的歐拉定理的一個推廣。歐拉定理聲稱三角形外接圓的半徑總是大於等於內切圓半徑的兩倍。
基本介紹
- 中文名:埃爾德什-莫德爾不等式
- 外文名:Erdős–Mordell inequality
- 學科:數學
歷史,證明,
歷史
該不等式最早由埃爾德什在1935年在《美國數學月刊》上提出,作為第3740號問題。兩年之後,由路易斯·莫德爾和D.F.巴羅證明。1957年,卡扎里諾夫提出了一個更簡捷的證明。之後不斷有更簡潔、更基本的證明出現。1958年班考夫(Bankoff)給出了運用正交投影和相似三角形的證明,1997年和2004年出現了使用面積不等式的證明,1993年和2001年發現了根據托勒密定理的證明。
證明
如右圖,O為三角形ABC中的一個點。O到三角形三邊的垂線分別交三條邊於D、E、F。設線段OA、OB、OC的長度分別是x、y、z,線段OD、OE、OF的長度分別是p、q、r,那么埃爾德什-莫德爾不等式為:



過點F、E作關於BC的垂線交BC於X、Y。過O作BC的平行線分別交FX、EY於U、V。由於OF垂直於AF,OE垂直於AE,
,
。於是:



另一方面,注意到在直角梯形中
中,斜腰EF的長度大於等於直角腰UV。因此:






根據均值不等式,
,等等,於是最終得到:


這就是埃爾德什-莫德爾不等式。
從證明中可以看到,等號取得的充要條件是
,也就是說不等式中的等號成立若且唯若三角形是等邊三角形。
