埃爾德什－莫德爾不等式

在幾何學中，埃爾德什-莫德爾不等式是一個二十世紀初期發現的不等式。埃爾德什-莫德爾不等式說明了：對於任何三角形ABC和其內部的一點O，點O到三角形三條邊的距離之和總是小於或等於點O到三角形的三個頂點的距離之和的一半。

埃爾德什-莫德爾不等式可以認為是幾何學中的歐拉定理的一個推廣。歐拉定理聲稱三角形外接圓的半徑總是大於等於內切圓半徑的兩倍。

基本介紹

• 中文名：埃爾德什－莫德爾不等式
• 外文名：Erdős–Mordell inequality
• 學科：數學

歷史

該不等式最早由埃爾德什在1935年在《美國數學月刊》上提出，作為第3740號問題。兩年之後，由路易斯·莫德爾和D.F.巴羅證明。1957年，卡扎里諾夫提出了一個更簡捷的證明。之後不斷有更簡潔、更基本的證明出現。1958年班考夫（Bankoff）給出了運用正交投影和相似三角形的證明，1997年和2004年出現了使用面積不等式的證明，1993年和2001年發現了根據托勒密定理的證明。

證明

如右圖，O為三角形ABC中的一個點。O到三角形三邊的垂線分別交三條邊於D、E、F。設線段OA、OB、OC的長度分別是x、y、z，線段OD、OE、OF的長度分別是p、q、r，那么埃爾德什-莫德爾不等式為：

一個初等的證明方式是使用三角函式以及均值不等式。

首先，由於OF垂直於AF，OE垂直於AE，A、F、O、E四點共圓且OA為直徑，因此線段（角A為頂點A對應的內角）。

過點F、E作關於BC的垂線交BC於X、Y。過O作BC的平行線分別交FX、EY於U、V。由於OF垂直於AF，OE垂直於AE， ， 。於是：

另一方面，注意到在直角梯形中 中，斜腰EF的長度大於等於直角腰UV。因此：

類似地，還有：

三式相加，得到：

根據均值不等式， ，等等，於是最終得到：

這就是埃爾德什-莫德爾不等式。

從證明中可以看到，等號取得的充要條件是 ，也就是說不等式中的等號成立若且唯若三角形是等邊三角形。