平面仿射坐標變換

平面仿射坐標變換是一種坐標變換，指平面上任一點對於兩個仿射坐標系的坐標之間的對應關係。平面上點的仿射坐標變換公式和平面上向量的仿射坐標變換公式。

基本介紹

• 中文名：平面仿射坐標變換
• 外文名：Plane affine coordinate transformation
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：空間解析幾何（坐標系）

基本介紹

設任一點M在仿射標架{O;e₁，e₂}中的坐標為(x，y)，在仿射標架{O′;e₁′，e₂′}中的坐標為(x′，y′)，若 =x₀e₁+y₀e₂，e′_s=a_se₁+b_se₂(s=1，2)，則從 =xe₁+ye₂， =x′e′₁+y′e′₂和 =x₀e₁+y₀e₂+x′(a₁e₁+b₁e₁)+y′(a₂e₁+b₂e₂)可得下列仿射坐標變換的公式

當兩個仿射標架中有一個是直角標架時可得仿射坐標與直角坐標的關係式，而當兩個仿射標架都是直角標架時又可得直角坐標變換的公式。

平面仿射坐標系

在平面解析幾何中，通過在平面上建立直角坐標系或極坐標系，把平面上的點與一對有次序的數對應起來，把平面上的圖形與二元方程對應起來，從而用代數方法來研究平面幾何問題。需要指出的是，建立平面上的點與一對有次序的數之間的對應關係並不限於直角坐標系或極坐標系。還有另一種更為一般的坐標系——仿射坐標系。

在平面上取定一點O和兩個以點O為起點的不共線向量e₁，e₂，稱為平面上的一個仿射坐標系，記作{0；e₁，e₂}。其中O稱為原點，e₁，e₂稱為基向量(簡稱基)或坐標向量。若e₁，e₂符合右手規則，則稱此坐標係為右手系，否則稱為左手系。如不特別聲明，一般指右手系。過O點且分別平行於e₁，e₂的有向直線(它的正向與基向量的方向相同)稱為坐標軸。共有兩條坐標軸，依次稱為x軸和Y軸。兩條坐標軸分平面為四部分，依次稱為第Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ象限(圖1)。

圖1

若仿射坐標系{0；e₁，e₂}的基向量e₁，e₂互相垂直，且|e₁|=|e₂|=1，就成為平面直角坐標系。可見，平面直角坐標系是平面仿射坐標系的特殊情形。

平面上點的仿射坐標

在平面仿射坐標系{0；e₁，e₂}中給定一點M，就確定唯一的向量 ，稱為點M的向徑。向徑 可唯一地表示成

如圖2所示。由此可見，向徑與有序數組(x，y)之間建立了一一對應關係。有序數組(x，y)稱為向徑在仿射坐標系{0；e₁，e₂}下的坐標，也稱為點M在仿射坐標系{0；e₁，e₂}下的坐標，記作M(x，y}。

圖2

點的仿射坐標變換公式

設在平面上給定了兩個仿射坐標系：{O；e₁，e₂}和{O'；e'₁，e'₂}，分別記作σ和σ'，即σ={O；e₁，e₂}，σ'={O'；e'₁，e'₂}。設坐標系σ'的原點O'在坐標系σ下的坐標為，坐標系σ'的基向量e'₁，e'₂在坐標系σ下的坐標分別為(a₁₁，a₂₁)，(a₁₂，a₂₂)。現在求點M在坐標系σ下的坐標(x，y)與它在坐標系σ'下的坐標(x'，y')之間的關係式。由假設有

圖3

又由圖3可知

比較的兩個表達式，得

式(1)把點M在坐標系σ下的坐標x，y表示成它在坐標系σ'下的坐標(x'，y')的一次多項式，稱為平面上點的仿射坐標變換公式。

由於e'₁與e'₂不共線，所以行列式

因此可由方程組（1）解得

式(2)把平面上的點M在坐標系σ'下的坐標(x'，y')表示成在坐標系σ下的坐標(x，y)的一次多項式，也稱為平面上點的仿射坐標變換公式。

類似地可以導出平面向量的仿射坐標變換公式。