平均場理論（Mean Field Theory, MFT）是將隨機過程模型中一個單體受到的所有影響近似為一個外部場（external field），從而將多體問題（many-body problem）分解為多個單體問題（one-body problem）進行求解的範式和理論。
MFT最早來自統計力學中對相變（phase transition），尤其是伊辛模型（Ising model）的有關研究，其中經典的MFT理論包括Weiss分子場理論（Weiss molecular field theory）、Bragg-Williams平均場理論和Landau理論。MFT在現代理論物理學中有重要套用，也被套用於化學、信息科學和人工智慧。
基本介紹
- 中文名：平均場理論
- 外文名：Mean Field Theory, MFT
- 提出者：Pierre Curie，Pierre Weiss 等
- 提出時間：1895-1907年
- 學科：統計學
- 套用：理論物理學，信息科學，人工智慧
意義,實例,
意義
平均場理論，是把環境對物體的作用進行集體處理，以平均作用效果替代單個作用效果的加和的方法。這一方法，能簡化對複雜問題的研究，把一個高次、多維的難以求解的問題轉化為一個低維問題，相當於把環境對研究對象的影響進行積分後再與研究對象發生作用，多用於運動狀態混亂的氣體，以及結構複雜的固體、液體的研究中，並構成了能帶論、現代固體理論、量子多體理論等理論的重要的基礎。儘管平均場理論帶來了研究的便利，但是由於積分過程會掩蓋掉環境中個別影響因素的漲落，因此在非平衡過程，強關聯繫統，以及瞬態過程中，平均場理論會帶來巨大的誤差。
實例
在化學和物理研究中，平均場理論在不同的層次上被多次“發明”：范德瓦耳斯的狀態方程是最早的平均場理論，後來還有很多不同的名稱。1937年朗道提出了二類相變的普遍理論。朗道的平均場理論描述了包括超流液氦、鐵磁體相變等實驗現象，通過引入序參量來描述二元體系的平均化狀態，這樣體系熱力學函式就表示為序參量的解析函式。拿一個具體的例子說明，單軸各向異性的鐵磁體，磁化強度只能向上或者向下，現在是向上的。 這裡假定熱力學函式可以展開，有二次方和四次方項（由於反演對稱，沒有奇次方項），那么展開係數是溫度的函式，a是一個正數,b也是一個正數。曲線在高於Tc的時候和低於Tc的時候是不一樣的，高於Tc的時候，最小值是Mo=0，就是沒有自發磁化；如果低於Tc，就有不等於0的極小點。按照平均場理論算出來，臨界指數β等於二分之一；算出與磁場的關係，在臨界點上是這樣的關係，d=3。可以算出平常說的磁化率，和T的相對溫度之間有一個關係，指數是1。還可以算比熱，從低溫到高溫的時候有一個躍變，本身是一個常數。如果鐵磁體不是單軸各向異性，而是平面各向異性的，序參量會有兩個分量。我們可以拿這個曲線轉一圈，最低能量態是“簡併”的，所有“酒瓶底”的狀態都具有最低能量，實際體系可能處於某一個位置上。這就是對稱破缺。 除此之外，外斯的分子場理論，描述合金有序化的布喇格－威廉士理論，固體研究中引入並成為能帶論基礎的周期性邊界條件，固體中的集體激發，以及非整數的晶格位置占據等都屬於平均場理論形式。
