希臘數學家畢達哥拉斯

希臘數學家畢達哥拉斯出生於公元前560年在薩摩斯島(今希臘東部的小島)出生，是古希臘哲學家、數學家、天文學家。

基本介紹

• 中文名：畢達哥拉斯
• 外文名：Pythagoras
• 國籍：希臘
• 職業：數學家

畢達哥拉斯(Pythagoras)簡介

泰勒斯(Thales)在哲學上有個對立面，這個人就是首先提出物質運動應該符合數學規律的古希臘哲學家、數學家、天文學家——畢達哥拉斯(公元前560年～公元前480年)。

希臘數學家畢達哥拉斯

生平簡介

公元前580年，畢達哥拉斯出生在米里都附近的薩摩斯島(今希臘東部的小島)——愛奧尼亞群島的主要島嶼城市之一，此時群島正處於極盛時期，在經濟、文化等各方面都遠遠領先於希臘本土的各個城邦。

畢達哥拉斯的父親是一個富商，九歲時被父親送到提爾，在閃族敘利亞學者那裡學習，在這裡他接觸了東方的宗教和文化。以後他又多次隨父親作商務旅行到小亞細亞。

公元前551年，畢達哥拉斯來到米利都、得洛斯等地，拜訪了泰勒斯、阿那克西曼德和菲爾庫德斯，並成為了他們的學生。在此之前，他已經在薩摩斯的詩人克萊非洛斯那裡學習了詩歌和音樂。

公元前550年，30歲的畢達哥拉斯因宣傳理性神學，穿東方人服裝，蓄上頭髮從而引起當地人的反感，從此薩摩斯人一直對畢達哥拉斯有成見，認為他標新立異，鼓吹邪說。畢達哥拉斯被迫於公元前535年離家前往埃及，途中他在腓尼基各沿海城市停留，學習當地神話和宗教，並在提爾一神廟中靜修。

抵達埃及後，國王阿馬西斯推薦他入神廟學習。從公元前535年到公元前525年這十年中，畢達哥拉斯學習了象形文字和埃及神話歷史和宗教，並宣傳希臘哲學，受到許多希臘人尊敬，有不少人投到他的門下求學。
畢達哥拉斯在49歲時返回家鄉薩摩斯，開始講學並開辦學校，但是沒有達到他預期的成效。公元前520年左右，為了擺脫當時君主的暴政，他與母親和唯一的一個門徒離開薩摩斯，移居西西里島，後來定居在克羅托內。在那裡他廣收門徒，建立了一個宗教、政治、學術合一的團體。

他的演講吸引了各階層的人士，很多上層社會的人士來參加演講會。按當時的風俗，婦女是被禁止出席公開的會議的，畢達哥拉斯打破了這個成規，允許她們也來聽講。熱心的聽眾中就有他後來的妻子西雅娜，她年輕漂亮，曾給他寫過傳記，可惜已經失傳了。

畢達哥拉斯在義大利南部的希臘屬地克勞東成立了一個秘密結社，這個社團里有男有女，地位一律平等，一切財產都歸公有。社團的組織紀律很嚴密，甚至帶有濃厚的宗教色彩。每個學員都要在學術上達到一定的水平，加入組織還要經歷一系列神秘的儀式，以求達到“心靈的淨化”。

他們要接受長期的訓練和考核，遵守很多的規範和戒律，並且宣誓永不泄露學派的秘密和學說。他們相信依靠數學可使靈魂升華，與上帝融為一體，萬物都包含數，甚至萬物都是數，上帝通過數來統治宇宙。這是畢達哥拉斯學派和其他教派的主要區別。

學派的成員有著共同的哲學信仰和政治理想，他們吃著簡單的食物，進行著嚴格的訓練。學派的教義鼓勵人們自製、節慾、純潔、服從。他們開始在大希臘(今義大利南部一帶)贏得了很高的聲譽，產生過相當大的影響，也因此引起了敵對派的嫉恨。
後來他們受到民主運動的衝擊，社團在克羅托內的活動場所遭到了嚴重的破壞。畢達哥拉斯被迫移居他林敦(今義大利南部塔蘭托)，並於公元前500年去世，享年80歲。許多門徒逃回希臘本土，在弗利奧斯重新建立據點，另一些人到了塔蘭托，繼續進行數學哲學研究，以及政治方面的活動，直到公元前4世紀中葉。畢達哥拉斯學派持續繁榮了兩個世紀之久。

“萬物皆數”

最早把數的概念提到突出地位的是畢達哥拉斯學派。他們很重視數學，企圖用數來解釋一切。宣稱數是宇宙萬物的本原，研究數學的目的並不在於使用而是為了探索自然的奧秘。他們從五個蘋果、五個手指等事物中抽象出了五這個數。這在今天看來很平常的事，但在當時的哲學和實用數學界，這算是一個巨大的進步。在實用數學方面，它使得算術成為可能。在哲學方面，這個發現促使人們相信數是構成實物世界的基礎。

定理——勾股定理

畢達哥拉斯本人以發現勾股定理(西方稱畢達哥拉斯定理)著稱於世。這定理早已為巴比倫人和中國人所知(在中國古代大約是戰國時期西漢的數學著作 《周髀 算經》中記錄著商高同周公的一段對話。商高說：“…故折矩，勾廣三，股修四，經隅五。”商高那段話的意思就是說：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5。以後人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”。這就是中國著名的勾股定理.)，不過最早的證明大概可歸功於畢達哥拉斯。他是用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等於兩直角邊平方之和，即畢達哥拉斯定理(勾股定理)。

數論

數論

畢達哥拉斯對數論作了許多研究，將自然數區分為奇數、偶數、素數、完全數、平方數、三角數和五角數等。在畢達哥拉斯派看來，數為宇宙提供了一個概念模型，數量和形狀決定一切自然物體的形式，數不但有量的多寡，而且也具有幾何形狀。在這個意義上，他們把數理解為自然物體的形式和形象，是一切事物的總根源。因為有了數，才有幾何學上的點，有了點才有線面和立體，有了立體才有火、氣、水、土這四種元素，從而構成萬物，所以數在物之先。自然界的一切現象和規律都是由數決定的，都必須服從“數的和諧”，即服從數的關係。

畢達哥拉斯還通過說明數和物理現象間的聯繫，來進一步證明自己的理論。他曾證明用三條弦發出某一個樂音，以及它的第五度音和第八度音時，這三條弦的長度之比為6:4:3。他從球形是最完美幾何體的觀點出發，認為大地是球形的，提出了太陽、月亮和行星作均勻圓運動的思想。他還認為十是最完美的數，所以天上運動的發光體必然有十個。

整數的變化

畢達哥拉斯和他的學派在數學上有很多創造，尤其對整數的變化規律感興趣。例如，把(除其本身以外)全部因數之和等於本身的數稱為完全數(如6，28， 496等)，而將本身大於其因數之和的數稱為盈數；將小於其因數之和的數稱為虧數。

幾何的其他貢獻

在幾何學方面，畢達哥拉斯學派證明了“三角形內角之和等於兩個直角”的論斷；研究了黃金分割；發現了正五角形和相似多邊形的作法；還證明了正多面體只有五種——正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。

萬物皆數

他同時任意地把非物質的、抽象的數誇大為宇宙的本原，認為“萬物皆數”，“數是萬物的本質”，是“存在由之構成的原則”，而整個宇宙是數及其關係的和諧的體系。畢達哥拉斯將數神秘化，說數是眾神之母，是普遍的始原，是自然界中對立性和否定性的原則。

畢達哥拉斯得到的倫理觀

在早年的治學時期，畢達哥拉斯經常到各地演講，以向人們闡明經過他深思熟慮的見解，除了“數是萬物之原”的主題外，他還常常談起有關道德倫理的問題。

他對議事廳的權貴們說，“一定要公正。不公正，就破壞了秩序，破壞了和諧，這是最大的惡。起誓是很嚴重的行為，不到關鍵時刻不要隨便起誓，可是每個官員應能立下保證，保證自己不說謊話。”

在談到治家時，他認為對兒女的愛是不能指望有回報的，但做父親的應當努力用自己的言行去獲得子女由衷的敬愛。父母的愛是神聖的，作子女的應當珍惜。子女應是父母的朋友，兄弟姐妹之間也應該彼此互敬互愛。當提到夫妻關係時，他說彼此尊重是最重要的，雙方都應忠實於配偶。

他談到過自律的問題。他說，自律是對人個性的一種考驗，對兒童、少年、老人、婦女來說，能自律是一種美德，但對年輕人來說，則是必要。自律使你身體健康，心靈潔淨，意志堅強。畢達哥拉斯從如何培養自律講到教育的重要性，他認為人的自律只能在理性和知識的指導下才能培養起來，而知識只能通過教育才能獲得，所以教育的重要性是不容忽視的。

他形象的描述了教育的特性：“你能通過學習從別人那裡獲得知識，但教授你的人卻不會因此失去了知識。這就是教育的特性。世界上有許多美好的東西。好的稟賦可以從遺傳中獲得，如健康的身體，嬌好的容顏，勇武的個性；有的東西很寶貴，但一經授予他人就不再歸你所有，如財富，如權力。而比這一切都寶貴的是知識，只要你努力學習，你就能得到而又不會損害他人，並可能改變你的天性。”

誠然，作為一種唯心主義的世界觀，畢達哥拉斯和他的學派的科學探索無法找到正確的方向，甚至在某種程度上給後來的自然哲學以及科學的發展帶來了很大的消極影響。但是，這些失誤，並不能掩蓋畢達哥拉斯在自然科學形成和發展過程中起到的積極作用。列寧告訴我們，畢達哥拉斯是“科學思維的萌芽同宗教神話之類幻想間的一種聯繫”。

畢達哥拉斯的小故事

畢達哥拉斯有次應邀參加一位富有政要的餐會，這位主人豪華宮殿般的餐廳鋪著是正方形美麗的大理石地磚，由於大餐遲遲不上桌，這些飢腸轆轆的貴賓頗有怨言；這位善於觀察和理解的數學家卻凝視腳下這些排列規則、美麗的方形磁磚，但畢達哥拉斯不只是欣賞磁磚的美麗，而是想到它們和[數]之間的關係，於是拿了畫筆並且蹲在地板上，選了一塊磁磚以它的對角線 AB為邊畫一個正方形，他發現這個正方形面積恰好等於兩塊磁磚的面積和。他很好奇，於是再以兩塊磁磚拼成 的矩形之對角線作另一個正方形，他發現這個正方形之面積等於5塊磁磚的面積，也就是以兩股為邊作正方形面積之和。至此畢達哥拉斯作了大膽的假設： 任何直角三角形，其斜邊的平方恰好等於另兩邊平方之和。那一頓飯，這位古希臘數學大師，視線都一直沒有離開地面。

畢達哥拉斯教派有一些規矩是

1．禁食豆子。

2．東西落下了，不要揀起來。

3．不要去碰白公雞。

4．不要擘開麵包。

5．不要邁過門閂。

6．不要用鐵撥火。

7．不要吃整個的麵包。

8．不要招花環。

9．不要坐在斗上。

10．不要吃心。

11．不要在大路上行走。

12．房裡不許有燕子。

13．鍋從火上拿下來的時候，不要把鍋的印跡留在灰上，而要把它抹掉。

14．不要在光亮的旁邊照鏡子。

15．當你脫下睡衣的時候，要把它捲起，把身上的印跡摩平①。

所有這些誡命都屬於原始的禁忌觀念。

康福德（《從宗教到哲學》）說，在他看來，“畢達哥拉斯代表著我們所認為與科學傾向相對立的那種神秘傳統的主潮。”他認為巴門尼德——他稱之為“邏輯的發現者”

——“是畢達哥拉斯的一個支派，而柏拉圖本人則從義大利哲學獲得了他的靈感的主要來源”。他說畢達哥拉斯主義是奧爾弗斯教內部的一種改良運動，而奧爾弗斯教又是狄奧尼索斯崇拜中的改良運動。理性的東西與神秘的東西之互相對立貫穿著全部的歷史，它在希臘人中間最初表現為奧林匹克的神與其他較為不開化的神之間的對立，後者更接近於人類學者們所研究的原始信仰。在這個分野上，畢達哥拉斯是站在神秘主義方面的，雖然他的神秘主義具有一種特殊的理智性質。他認為他自己具有一種半神明的性質，而且似乎還曾說過，“既有人，又有神，也還有象畢達哥拉斯這樣的生物。”康福德說，受他所鼓舞的各種體系“都是傾向於出世的，把一切價值都置於上帝的不可見的統一性之中，並且把可見的世界斥為虛幻的，說它是一種混濁的介質，其中上天的光線在霧色和黑暗之中遭到了破壞，受到了蒙蔽”。

狄凱阿克斯說，畢達哥拉斯教導說，“首先，靈魂是個不朽的東西，它可以轉變成別種生物；其次，凡是存在的事物，都要在某種循環里再生，沒有什麼東西是絕對新的；一切生來具有生命的東西都應該認為是親屬。”①據說，畢達哥拉斯好像聖法蘭西斯一樣地曾向動物說法。

在他建立的團體裡，不分男女都可以參加；財產是公有的，而且有一種共同的生活方式，甚至於科學和數學的發現也認為是集體的，而且，在一種神秘的意義上，都得歸功於畢達哥拉斯；甚至於在他死後也還是如此。梅達彭提翁的希巴索斯曾違反了這條規矩，便因船隻失事而死，這是神對於他的不虔誠而震怒的結果。

但是這一切與數學又有什麼關係呢？它們是通過一種讚美沉思生活的道德觀而被聯繫在一片的。伯奈特把這種道德觀總結如下：

“我們在這個世界上都是異鄉人，身體就是靈魂的墳墓，然而我們決不可以自殺以求逃避；因為我們是上帝的所有物，上帝是我們的牧人，沒有他的命令我們就沒權利逃避。在現世生活里有三種人，正象到奧林匹克運動會上來的也有三種人一樣。那些來作買賣的人都屬於最低的一等，比他們高一等的是那些來競賽的人。然而，最高的一種乃是那些只是來觀看的人們。因此，一切中最偉大的淨化便是無所為而為的科學，唯有獻身於這種事業的人，亦即真正的哲學家，才真能使自己擺脫\'生之巨輪\'。”①文字涵義的變化往往是非常有啟發意義的。我在上文已經提到“狂歡”（orgy）那個字；現在我就要談談“理論”（theory）這個字。這個字原來是奧爾弗斯教派的一個字，康福德解釋為“熱情的動人的沉思”。他說，在這種狀態之中“觀察者與受苦難的上帝合而為一，在他的死亡中死去，又在他的新生中復活”；對於畢達哥拉斯，這種“熱情的動人的沉思”乃是理智上的，而結果是得出數學的知識。這樣，通過了畢達哥拉斯主義，“理論”

就逐漸地獲得了它的近代意義；然而對一切為畢達哥拉斯所鼓舞的人們來說，它一直保存著一種狂醉式的啟示的成份。這一點，對於那些在學校里無可奈何地學過一些數學的人們來說，好像是很奇怪的；然而對於那些時時經驗著由於數學上的豁然貫通而感到沉醉歡欣的人們來說，對於那些喜愛數學的人們來說，畢達哥拉斯的觀點則似乎是十分自然的，縱令它是不真實的。仿佛經驗的哲學家只是材料的奴隸，而純粹的數學家，正象音樂家一樣，才是他那秩序井然的美麗世界的自由創造者。

最有趣的是，我們從伯奈特敘述的畢達哥拉斯的倫理學裡，可以看出與近代價值相反的觀念。譬如在一場足球賽里，有近代頭腦的人總認為足球員要比觀眾偉大得多。至於國家，情形也類似：他們對於政治家（政治家是比賽中的競爭者）的崇拜有甚於對於那些僅僅是旁觀者的人們。這一價值的變化與社會制度的改變有關——戰士、君子、財閥、獨裁者，各有其自己的善與真的標準。君子在哲學理論方面曾經有過長期的當權時代，因為他是和希臘天才結合在一片的，因為沉思的德行獲得了神學的保證，也因為無所為而為的真理這一理想莊嚴化了學院的生活。君子可以定義為平等人的社會中的一分子，他們靠奴隸勞動而過活，或者至少也是依靠那些毫無疑問地位卑賤的勞動人民而過活。應該注意到在這個定義里也包括著聖人與賢人，因為就這些聖賢的生活而論，他們也是耽於沉思的而不是積極活動的。

近代關於真理的定義，例如實用主義的和工具主義的關於真理的定義，就是實用的而不是沉思的，它是由於與貴族政權相反對的工業文明所激起的。

無論人們對於容許奴隸制存在的社會制度懷著怎樣的想法，但正是從上面那種意義的君子那裡，我們才有了純粹的數學。沉思的理想既能引人創造出純粹的數學，所以就是一種有益的活動的根源；這一點就增加了它的威望，並使它在神學方面、倫理學方面和哲學方面獲得了一種在其他情況下所不能享有的成功。

關於畢達哥拉斯之作為一個宗教的先知與作為一個純粹的數學家這兩方面，我們已經解釋得很多了。在這兩方面，他都有著無可估計的影響，而且這兩方面在當時也不象近代人所想像的那樣是分離開來的。

大多數的科學從它們的一開始就是和某些錯誤的信仰形式聯繫在一片的，這就使它們具有一種虛幻的價值。天文學和占星學聯繫在一片，化學和煉丹術聯繫在一片。數學則結合了一種更精緻的錯誤類型。數學的知識看來是可靠的、準確的，而且可以套用於真實的世界。此外，它還是由於純粹的思維而獲得的，並不需要觀察。因此之故，人們就以為它提供了日常經驗的知識所無能為力的理想。人們根據數學便構想思想是高於感官的，直覺是高於觀察的。如果感官世界與數學不符，那么感官世界就更糟糕了。人們便以各種不同的方式尋求更能接近於數學家的理想的方法，而結果所得的種種啟示就成了形上學與知識論中許多錯誤的根源。這種哲學形式也是從畢達哥拉斯開始的。

正如大家所知道的，畢達哥拉斯說“萬物都是數”。這一論斷如以近代的方式加以解釋的話，在邏輯上是全無意義的，然而畢達哥拉斯所指的卻並不是完全沒有意義的。

他發現了數在音樂中的重要性，數學名詞里的“調和中項”與“調和級數”就仍然保存著畢達哥拉斯為音樂和數學之間所建立的那種聯繫。他把數想像為象是表現在骰子上或者紙牌上的那類形狀。我們至今仍然說數的平方與立方，這些名詞就是從他那裡來的。

他還提到長方形數目、三角形數目、金字塔形數目等等。這些都是構成上述各種形狀所必需的數目小塊塊（或者我們更自然一些應該說是些數目的小球球）。他把世界假想為原子的，把物體假想為是原子按各種不同形式排列起來而構成的分子所形成的。他希望以這種方式使算學成為物理學的以及美學的根本研究對象。

畢達哥拉斯的最偉大的發現，或者是他的及門弟子的最偉大的發現，就是關於直角三角形的命題；即直角兩夾邊的平方的和等於另一邊的平方，即弦的平方。埃及人已經知道三角形的邊長若為3，4，5的話，則必有一個直角。但是顯然希臘人是最早觀察到32+42=52的，並且根據這一提示發現了這個一般命題的證明。

然而不幸，畢達哥拉斯的定理立刻引到了不可公約數(無理數)的發現，這似乎否定了他的全部哲學。在一個等邊直角三角形里，弦的平方等於每一邊平方的二倍。讓我們假設每邊長一時，那么弦應該有多么長呢？讓我們假設它的長度是m/n時。那么m2/n2=2。

如果m和n有一個公約數，我們可以把它消去，於是m和n必有一個是奇數。現在m2=2n2，所以m是偶數，所以m也是偶數；因此n就是奇數。假設m=2p。那么4p2=2n2，因此n2=2p2，而因此n便是偶數，與假設相反。所以就沒有m/n的分數可以約盡弦。以上的證明，實質上就是歐幾里德第十編中的證明①。

這種論證就證明了無論我們採取什麼樣的長度單位，總會有些長度對於那個單位不能具有確切的數目關係；也就是說，不能有兩個整數m、n，從而使問題中的m倍的長度等於n倍的單位。這就使得希臘的數學家們堅信，幾何學的成立必定是獨立的而與算學無關。

柏拉圖對話錄中有幾節可以證明，在他那時候已經有人獨立地處理幾何學了；幾何學完成於歐幾里德。歐幾里德在第二編中從幾何上證明了許多我們會自然而然用代數來證明的東西，例如(a+b)2=a2+2ab+b2。正是因為有不可公約數的困難，他才認為這種辦法是必要的。他在第五編、第六編中論比例時，情形也是如此。整個體系在邏輯上是醒目的，並且已經預示著十九世紀數學家們的嚴謹了。只要關於不可公約數還沒有恰當的算學理論存在時，則歐幾里德的方法便是幾何學中最好的可能方法。當笛卡兒介紹了坐標幾何學（解析幾何）從而再度確定了算學至高無上的地位時，他曾構想不可公約數的問題有解決的可能性，雖然在他那時候還不曾發現這種解法。

幾何學對於哲學與科學方法的影響一直是深遠的。希臘人所建立的幾何學是從自明的、或者被認為是自明的公理出發，根據演繹的推理前進，而達到那些遠不是自明的定理。公理和定理被認為對於實際空間是真確的，而實際空間又是經驗中所有的東西。這樣，首先注意到自明的東西然後再運用演繹法，就好像是可能發現實際世界中一切事物了。這種觀點影響了柏拉圖和康德以及他們兩人之間的大部分的哲學家。“獨立宣言”

①說：“我們認為這些真理是自明的”，其本身便脫胎於歐幾里德。十八世紀天賦人權的學說，就是一種在政治方面追求歐幾里德式的公理②。牛頓的《原理》一書，儘管它的材料公認是經驗的，但是它的形式卻完全是被歐幾里德所支配著的。嚴格的經院形式的神學，其體裁也出於同一個來源。個人的宗教得自天人感通，神學則得自數學；而這兩者都可以在畢達哥拉斯的身上找到。

我相信，數學是我們信仰永恆的與嚴格的真理的主要根源，也是信仰有一個超感的可知的世界的主要根源。幾何學討論嚴格的圓，但是沒有一個可感覺的對象是嚴格地圓形的；無論我們多么小心謹慎地使用我們的圓規，總會有某些不完備和不規則的。這就提示了一種觀點，即一切嚴格的推理只能套用於與可感覺的對象相對立的理想對象；很自然地可以再進一步論證說，思想要比感官更高貴而思想的對象要比感官知覺的對象更真實。神秘主義關於時間與永恆的關係的學說，也是被純粹數學所鞏固起來的；因為數學的對象，例如數，如其是真實的話，必然是永恆的而不在時間之內。這種永恆的對象就可以被想像成為上帝的思想。因此，柏拉圖的學說是：上帝是一位幾何學家；而詹姆士·琴斯爵士也相信上帝嗜好算學。與啟示的宗教相對立的理性主義的宗教，自從畢達哥拉斯之後，尤其是從柏拉圖之後，一直是完全被數學和數學方法所支配著的。

數學與神學的結合開始於畢達哥拉斯，它代表了希臘的、中世紀的以及直迄康德為止的近代的宗教哲學的特徵。畢達哥拉斯以前的奧爾弗斯教義類似於亞洲的神秘教。但是在柏拉圖、聖奧古斯丁、托馬斯·阿奎那、笛卡爾、斯賓諾莎和康德的身上都有著一種宗教與推理的密切交織，一種道德的追求與對於不具時間性的事物之邏輯的崇拜的密切交織；這是從畢達哥拉斯而來的，並使得歐洲的理智化了的神學與亞洲的更為直截了當的神秘主義區別開來。只是到了最近的時期，人們才可能明確地說出畢達哥拉斯錯在哪裡。我不知道還有什麼別人對於思想界有過象他那么大的影響。我所以這樣說，是因為所謂柏拉圖主義的東西倘若加以分析，就可以發現在本質上不過是畢達哥拉斯主義罷了。有一個只能顯示於理智而不能顯示於感官的永恆世界，全部的這一觀念都是從畢達哥拉斯那裡得來的。如果不是他，基督徒便不會認為基督就是道；如果不是他，神學家就不會追求上帝存在與靈魂不朽的邏輯證.明.。但是在他的身上，這一切還都不顯著。

下面就要談到這一切是怎樣變得顯著的。

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①西西里的希臘城市是受著迦太基人的威脅的，但是在義大利，人們並不感到這種威脅的切迫。

②亞里士多德說，畢達哥拉斯“最初從事數學和算學，後來一度不惜從事非里賽底斯所奉行的魔術。”

①“醜：畢達哥拉斯對於野鳥有什麼意見？

馬伏里奧：他說我們祖母的靈魂也許曾在鳥兒的身體裡寄住過。

醜：你對他的意見覺得怎樣？

馬：我認為靈魂是高貴的，絕對不贊成他的說法。

醜：再見，你在黑暗裡住下去吧，等到你贊成了畢達哥拉斯的說法之後，我才可以承認你的頭腦健全”。（第十二夜）

（朱生豪譯：《莎士比亞戲劇集》卷二，第218頁，作家出版社，1954）

①引自伯奈特《早期希臘哲學》。

①康福德：前引書，第201頁。

①《早期希臘哲學》，第108頁。

①但是這並非歐幾里德所發現的，見希斯：《希臘的數學》。以上的證明或許柏拉圖是知道的。

①這裡指的是美國的《獨立宣言》——中譯本編者

②佛蘭克林用“自明的”代替了傑弗遜的“神聖的與不可否認的.