希爾伯特數學問題

具體問題

1.G.康托爾的連續統假設問題；1963年，P.J.科恩證明了：連續統假設的真偽不可能在策梅洛－弗倫克爾公理系統內判明。

2. 算術公理的相容性；1931年,K.哥德爾的“不完備定理”指出了用希爾伯特“元數學”證明算術公理相容性之不可能。數學相容性問題尚未解決。

3.兩等高等底的四面體體積之相等；M.W.德恩1900年即對此問題給出了肯定解答。

4. 直線作為兩點間最短距離問題希爾伯特之後；在構造與探討各種特殊度量幾何方面有許多進展，但問題並未解決。

5. 不要定義群的函式的可微性假設的李群概念；A.M.格利森、D.蒙哥馬利和L.齊平等於1952年對此問題作出了最後的肯定解答。

6.物理公理的數學處理；公理化物理學的一般意義仍需探討。至於希爾伯特問題中提到的機率論公理化，已由Α.Η.柯爾莫哥洛夫(1933)等人建立。

7. 某些數的無理性與超越性；1934年,A.O.蓋爾豐德和T.施奈德各自獨立地解決了問題的後半部分，即對於任意代數數α≠0，1，和任意代數無理數β證明了αβ的超越性。

8. 素數問題；包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孿生素數問題等。一般情況下的黎曼猜想仍待解決。哥德巴赫猜想最佳結果屬於陳景潤(1966)，但離最終解決尚有距離。

9. 任意數域中最一般的互反律之證明；已由高木貞治(1921)和E.阿廷(1927)解決。

10.丟番圖方程可解性的判別；1970年，ю.Β.馬季亞謝維奇證明了希爾伯特所期望的一般算法不存在。

11.係數為任意代數數的二次型問題；係數為任意代數數的二次型H.哈塞(1929)和C.L.西格爾(1936，1951)在這問題上獲得重要結果。

12.阿貝爾域上的克羅內定理在任意代數有理域上的推廣；阿貝爾域上的克羅內克定理推廣到任意代數有理域尚未解決。

13.證明不可能用僅有兩個變數的函式解一般的7次方程；不可能用只有兩個變數的函式解一般的七次方程連續函式情形於1957年由Β.И.阿諾爾德解決。解析函式情形則尚未解決。

14.證明某類完全函式的有限性；證明某類完全函式系的有限性1958年,永田雅宜給出了否定解決。

15.舒伯特計數演算的嚴格基礎；舒伯特計數演算的嚴格基礎代數幾何基礎已由B.L.范·德·瓦爾登(1938～1940)與A.韋伊(1950)建立，但舒伯特演算的合理性仍待解決。

16.代數曲線和曲面拓撲問題；代數曲線與曲面的拓撲對該問題的後半部分，И.Γ.彼得羅夫斯基曾聲明證明了 n=2時極限環個數不超過 3，但這一結論是錯誤的，已由中國數學家舉出反例(1979)。

17.正定形式的平方表示式；正定形式的平方表示式已由E.阿廷於1926年解決。

18.由全等多變體構造空間；由全等多面體構造空間部分解決。