希爾伯特不等式

希爾伯特不等式

希爾伯特不等式(Hilbert inequality)是有關雙指標和或重級數的一種不等式及其推廣,它是希爾伯特(D.Hilbert)於1888年提出的,關於有限和的不等式。

基本介紹

  • 中文名:希爾伯特不等式
  • 外文名:Hilbert inequality
  • 所屬學科:數學
  • 提出者:希爾伯特(D.Hilbert)
  • 提出時間:1888年
  • 簡介:有關雙指標和或重級數的不等式
基本介紹,相關定理,

基本介紹

希爾伯特不等式是有關雙指標和或重級數的一種不等式及其推廣,關於有限和的下列不等式
其中a1,a2,…,aN≥0,它是希爾伯特(D.Hilbert)於1888年提出的,等號若且唯若a1=a2=…=aN=0時成立,π可以用更小的數
代替。更精確些,有
其中cN=π-π/2(lnN)+O(lnlnN(lnN))(N→∞)是最好的。令N→∞,得:
an
bm
(p>1,1/p+1/q=1,an≥0,bn≥0,n=1,2,…),常數π/sin(π/p)是最好的。它的積分類似是
其中f,g非負,p,q同上。希爾伯特不等式有許多推廣,同時還可找到許多希爾伯特型不等式。如
an
bn
am
bn
ambm
ambn
它們也有明顯的積分類似。

相關定理

定理1 若p>1,1/p+1/q=1,
是非負序列,且
希爾伯特不等式
除非所有am皆為零或所有bn皆為零。
下面是關於一類較為廣泛的雙線性型的一個結論,它能導出定理1。
定理2 若p>1,1/p+1/q=1,
是非負序列,K是二元函式,具有如下性質:
(1)K為非負,且為一1次齊次式;
(2)
(3)在(2)中的兩個被積函式均為嚴格遞減。或者,條件更弱些,(2)中的兩個被積函式在區間(1,∞)上為嚴格遞減,而區間(0,1)可分成兩部分:(0,ξ)和(ξ,1),其中有一個可以為空集,在(0,ξ)上函式為嚴格遞減,在(ξ,1)上函式為嚴格遞增;
(4)當K(x,x)無意義時,規定K(x,x)=0。
等號成立僅當所有am皆為零或所有bn皆為零;
而且
等號僅當所有am皆為零時成立;類似地
希爾伯特不等式
等號僅當所有bn皆為零時成立。
在上述式中,作為結論的三個不等式實際上是等價的,在最為重要的套用中,取K為
即得定理1,這時,能滿足(3)中的較強條件。
如果取K為
則能滿足(3)中的較弱條件。但這時需要用到條件(4),以便將相等的對(m,m)從求和中去掉。

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