布爾元

布爾元(Boolean element)是布爾代數論域中元素的簡稱，常以字母a代表布爾代數論域B中的某個固定元素，且稱a為布爾常元或布爾定元；而以x代表B中任意一個元素，稱x為布爾變元。

基本介紹

• 中文名：布爾元
• 外文名：Boolean element
• 所屬學科：數學（布爾代數）
• 簡介：布爾代數論域中元素的簡稱
• 分類：布爾常元(布爾定元)，布爾變元

基本介紹

設B是一個非空集合，它至少包含兩個元素0，1 (0≠1)，在B上定義三種代數運算“+”(布爾加)，“^．” (布爾乘)、 “﹣” (布爾補)，且對任意的a，b，c∈B，滿足下面四條運算律；

1.交換律：

(1) a+b=b+a，

(2) a·b=b·a；

2.分配律

(1) a·(b+c)=a·b+a·c，

(2) a+b·c=(a+b)·(a+c)；

3.0-1律

(1) a+0=a，

(2) a·1=a；

4.求補律

(1)a+ =1，

(2)a· =0，

則稱代數系統(B，+，·，﹣，0，1)為一個布爾代數；稱三種代數運算“+”、 “·”、 “﹣”為布爾運算，稱B為布爾集，B中的元素稱為布爾元，0和1稱為布爾定元(或布爾常量)，其餘的布爾元(如a，b，c，…)稱為布爾變元(或布爾變數)，a+b稱為a，b的布爾和；a·b稱為a，b的布爾積， 稱為a的布爾補。

相關說明

上文布爾代數的定義採用的是公理化定義的方法，定義中(1)一(4)的運算律是作為原始公理給出的，並且由此構成的公理體系具有完備性(即所有的定理都可由它們推導出來)、獨立性(即其中無多餘的公理)、無矛盾性(即相互之間不能矛盾，並且由它們推導出來的定理也均不能矛盾)。

在布爾代數中，若B取作某一冪集P(S)，兩個定元0，1分別看作空集∅和全集I，B上的三種布爾運算布爾加，布爾乘、布爾補分別看作集合的並、交，補運算。顯然，上面四條基本運算律成立，這時，布爾代數就成為集合代數，因此，集合代數是布爾代數的一個具體數學模型。

若取B=L={0，1},三種布爾運算規定如下：

顯然， “+”、 “^．”、 “﹣”是L上的代數運算，因此，<L，+，·，﹣，0，1>構成一個代數系統，容易驗證，它滿足布爾代數的四條基本運算律，故它是一個布爾代數，這種布爾代數叫二值布爾代數，二值布爾代數就稱為邏輯代數。