婆羅摩笈多定理(布拉美古塔定理)

婆羅摩笈多定理

布拉美古塔定理一般指本詞條

若圓內接四邊形的對角線相互垂直,則垂直於一邊且過對角線交點的直線將平分對邊。

如圖,圓內接四邊形ABCD的對角線AC⊥BD,垂足為M。EF⊥BC,且M在EF上。那么F是AD的中點。

推廣過圓內接四邊形兩對角線交點作任一邊的垂線,必過以其對邊為一邊,以交點為頂點的三角形的外心。

基本介紹

  • 中文名:婆羅摩笈多定理
  • 外文名:Brahmagupta theorem
  • 別稱:布拉美古塔定理
  • 提出者婆羅摩笈多
  • 套用學科:數學
  • 適用領域範圍:幾何
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定理定義

圓內接四邊形的對角線相互垂直,則垂直於一邊且過對角線交點的直線將平分對邊。這個定理有另一個名稱,叫做"布拉美古塔定理"(又譯"卜拉美古塔定理")。

驗證推導

方法一

如圖,運用向量證明。
方法一圖片方法一圖片
∵B、F、A共線,由共線向量基本定理可知,存在唯一實數k,使EF=(1-k)EB+kEA。其中BF=kBA
又EF⊥CD
EF·CD=[(1-k)EB+kEA]·(CE+ED)=0
展開得(1-k)EB·CE+kEA·CE+(1-k)EB·ED+kEA·ED=0
∵EB⊥CE、EA⊥ED,即EB·CE=0,EA·ED=0
∴kEA·CE+(1-k)EB·ED=0
即k|EA||CE|cos0+(1-k)|EB||ED|cosπ=0
kEA*EC=(1-k)EB*ED
∵EA*EC=EB*ED(相交弦定理)
∴k=1-k,k=1/2
BF=1/2*BA,即F是BA中點

方法二

如圖,運用幾何證明。
方法二圖片方法二圖片
∵AC⊥BD,ME⊥BC
∴∠CBD=∠CME
∵∠CBD=∠CAD,∠CME=∠AMF
∴∠CAD=∠AMF
∴AF=MF
∵∠AMD=90°,同時∠MAD+∠MDA=90°
∴∠FMD=∠FDM
∴MF=DF,即F是AD中點

定理推廣

圓內接四邊形的對角線相互垂直,則一邊中點與對角線交點的連線垂直於對邊。
如上圖,圓內接四邊形ABCD中,AC⊥BD,M是垂足。F是AD中點,則FM⊥BC。
過圓內接四邊形兩對角線交點做另一邊的垂線,必過其對邊為一邊,以交點為一頂點的三角形的外心。

證明

方法一

∵MA⊥MD,F是AD中點
婆羅摩笈多定理
∴AF=MF
∴∠CAD=∠AMF
∵∠CAD=∠CBD,∠AMF=∠CME
∴∠CBD=∠CME
∵∠CME+∠BME=∠BMC=90°
∴∠CBD+∠BME=90°
∴EF⊥BC

方法二

∵F是BA中點
婆羅摩笈多定理
EF=1/2*(EA+EB)
CD=CE+ED
EF·CD=1/2*(EA+EB)·(CE+ED)
EF·CD=1/2*(EA·CE+EA·ED+EB·CE+EB·ED)
EF·CD=1/2*(EA*EC-EB*ED)=0
∴EF⊥CD

定理說明

1.此定理是很冷門的(被考即是因為冷門),最好提前引例證明
2.向量法證明是很方便的方法,特別是另一版本的證明,自己想出來的,比我看的任何證明過程都簡單很多
3.想要抓住聯賽的幾何題,類似的冷門定理要多掌握

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