布勞威爾度

布勞威爾度亦稱映射度或拓撲度，是對一類連續映射的一種刻畫，它是由布勞威爾(Brouwer,L.E.J.)首先提出的。

基本介紹

• 中文名：布勞威爾度
• 外文名：Brouwer's degree
• 適用範圍：數理科學

簡介

布勞威爾度亦稱映射度或拓撲度，是對一類連續映射的一種刻畫。

對n維球面Sⁿ到自身的每一連續映射聯繫一個整數。設f:Sⁿ→Sⁿ(n,1)是連續映射，(K,φ)是Sⁿ的一個剖分，同調群H_n(Sⁿ)≊Z，這裡Z表示整數加群，以[z]記同調群H_n(K)的生成元，若

則有整數m使得的誘導同態，這個m稱為f的布勞威爾度，記為deg f。映射度deg f與S的剖分(K,φ)和H_n(K)的生成元的選取無關。

性質

根據誘導同態的性質，可得到下述結論：若f,g:Sⁿ→Sⁿ都是連續映射，則:

1.若f≃g，則deg f=deg g；

2.deg(f∘g)=deg f∘deg g；

3.對於Sⁿ上的恆同映射，有，對於常值映射c:Sⁿ→Sⁿ，有deg c=0。

根據以上性質，可以定義對應deg_#:[Sⁿ,Sⁿ]→Z，使得對於f所屬同倫類[f]規定deg_#([f])=deg f。

根據霍普夫(Hopf,H.)的度數定理，deg_#是一一對應。它表明Sⁿ到自身的連續映射從同倫觀點看由其映射度惟一決定。

套用

布勞威爾度套用廣泛，如研究球面上向量場以及博蘇克-烏拉姆定理等。關於布勞威爾度還可推廣到能定向閉假流形以及其他領域中去。

討論n維球面Sⁿ到自身連續映射的同倫類構成的集合[Sⁿ,Sⁿ]，是映射的同倫分類問題中最基本的內容，並且很多幾何問題的解決都有賴於對這個集合性質的了解。研究這個集合結構的一種方法，就是對每個連續映射f:Sⁿ→Sⁿ聯繫一個整數，即所謂布勞威爾度，它是由布勞威爾(Brouwer,L.E.J.)首先提出的。