巴哈杜爾(Bahadur)1960年提出的一種估計量漸近有效性的概念。設總體X的機率函式p(x;θ)依賴於m維未知參數θ=(θ1，…，θm)，θi(i=1，…，m)是θi的相合估計量， 基於容量為n的簡單隨機樣本，θ(n)=(θ1，…，θm); 記D (θ) 是以∂lnp(X;θ)/∂θi(i=1，…，m)為分量的m維列向量，D′(θ)是D(θ) 的轉置 (m維行向量)，I(θ) =E[D(θ) D′(θ)] 。稱θ(n)為θ的巴哈杜爾漸近有效估計量。
對相合估計給出了大偏差的漸近下界，達到這一下界的估計稱為Bahadur漸近有效的。
巴哈杜爾漸近有效性的定義中，除要求估計量具有相合性之外，再無其他更多的限制，因此套用較廣。但是其比較的標準不夠直觀且比較粗糙。
基本介紹
- 中文名：巴哈杜爾漸近有效性
- 外文名：Bahadur asymptotic validity
- 提出者：巴哈杜爾(Bahadur)
- 提出時間：1960年
- 套用學科：統計學
- 缺點：不直觀，較粗糙
定義,Bahadur表示,
定義
其中I(θ)是總體（1）的Fisher信息陣，
，
，
。模||.||定義為：當a為向量時，||a||是歐氏模，而當A是方陣時，
。因此，當估計量gn滿足條件
時，稱其為Bahadur漸近有效估計。這種漸近有效性是Bahadur提出的。
但是對非正則條件分布族，（2）式一般不再成立。非共同支撐分布族是非正則條件的重要情況。盧昆亮首先考慮了一種位置參數雙邊截斷族
。非共同支撐的截斷族還有其它許多種種重要形式，比如位置刻度參數截斷族：
"等，其中a∈R，γ>0，f(x)是[一1，l]上的正機率密度。所有的截斷族都可寫成如下一般形式：
其中
Bahadur表示
Bahadur表示就是將樣本分位數表示為一種線性和，它能更方便地討論樣本分位數的大樣本性質。
樣本分位數的Bahadur表示在證明樣本分位數的漸近正態性中起到關鍵性的作用，其原因是：樣本分位數是總體分位數的一種非線性和的估計量，Bahadur表示的目標就是將樣本分位數表示為一種線性和，從而可以更方便地討論樣本分位數的大樣本性質。
Bahadur在獨立同分布序列下證明了樣本分位數的Bahadur表示，其收斂速度為O(n^−3/4log^1/2nlog^1/4_2n)，其中log2n=loglogn。隨後Kiefer證明了其收斂速度為
。Sen，Badu和Singh進一步獲得了在α-混合序列下樣本分位數的Bahadur表示。Yoshihara在φ-混合和α-混合序列下研究了有界樣本分位數的Bahadur表示，給出與獨立情形幾乎相同的收斂速度，並討論了樣本分位數的Bahadur表示的漸進正態性。Sun取消Yoshihara對樣本有界的限制，討論了在α-混合序列下樣本分位數的Bahadur表示，並給出多項式衰減形式的收斂速度。同時，Cai和Roussas，Youndje和Vieu也分別研究了在相協和長相依隨機過程下分位數光滑估計的大樣本性質，Wei和Yang研究了α-混合序列下VaR線性核樣本分位數估計的Bahadur表示，並證得收斂速度為log−τn。最近，Ling討論了在NA序列下樣本分位數的Bahadur表示，其收斂速度不超過
，該速度與獨立同分布情形相差甚遠。
