左行右列定理

左行右列定理是線性代數中矩陣乘法的一條運算定理，適用於乘式中有初等矩陣的時候

其內容用文字表述為：如果矩陣A左（右）乘一個初等矩陣，那么相當於對A做了一次和它完全相同的初等行（列）變換

基本介紹

定理內容,數學解釋,套用,例題,影響及意義,推廣,

定理內容

如果矩陣A左（右）乘一個初等矩陣，那么相當於對A做了一次和它完全相同的初等行（列）變換

數學解釋

設
（k）（k≠0）表示單位矩陣E的第i行（或第i列）乘以非零常數k所得的初等矩陣，則用
（k）左（右）乘矩陣A，相當於對矩陣A的第i行（或第i列）乘以非零常數k
設
表示單位矩陣E交換第i行與第j行（或交換第i列與第j列）所得的初等矩陣，則用
左（右）乘矩陣A，相當於交換矩陣A的第i行與第j行（或交換第i列與第j列）
設
（k）表示單位矩陣E的第j行的k倍加到第i行（或第i列的k倍加到第j列）所得的初等矩陣，則用
（k）左（右）乘初等矩陣A，相當於用矩陣A的第j行的k倍加到第i行（或第i列的k倍加到第j列）

套用

計算帶有初等矩陣的矩陣乘法
將一個可逆矩陣拆成有限個初等矩陣的乘積
解矩陣方程

例題

例1.設A、B為兩個矩陣，A＝
，B＝
，求AB
分析：由於A是由單位矩陣E的第二行的兩倍加到第三行得到的，所以A是初等矩陣，計算B左乘A只需將B的第二行的兩倍加到第三行即可
解答：AB＝
（2）B＝
＝
例2.設矩陣A＝
，將矩陣A分解為若干個初等矩陣的乘積
分析：利用初等行變換將矩陣A化為單位矩陣，寫出每次作初等行變換所對應的初等矩陣，利用它們的逆矩陣倒著相乘即可
解答：將矩陣A的第二行減去兩倍的第一行，得到矩陣B；將矩陣B的第二行乘以﹣1倍，得到矩陣C；將矩陣C的第一行減去兩倍的第二行即可得到單位矩陣E
上述過程用數學語言表達即為：
（﹣2）A＝B，
（﹣1）B＝C，
（﹣2）C＝E
∴
（﹣2）
（﹣1）
（﹣2）A＝E
∴A＝
（﹣2）
（﹣1）
（﹣2）
即
＝
例3.設矩陣A＝
，B＝
，求一個可逆矩陣P，使得PA＝B
分析：由於｜A｜＝0，所以A不是可逆矩陣，導致不能通過右乘A的逆矩陣得到P，故我們可以對A作初等行變換變成B，將每一次初等行變換對應的初等矩陣倒著乘即得到P
解答：將矩陣A的第一行加到第二行，得到矩陣C；將矩陣C的第二行乘以兩倍加到第三行，即可得到矩陣B
上述過程用數學語言表達即為：
（1）A＝C，
（2）C＝B
∴B＝
（2）
（1）A
∴P＝
（2）
（1）＝
＝

影響及意義

在矩陣乘法中，如果其中一個矩陣是初等矩陣，則可以通過左行右列定理繞開乘積運算，僅通過一次初等行（列）變換即可，簡化了左（右）乘初等矩陣的計算量
在解例如AX＝B的矩陣方程時，解決了當矩陣A不是可逆矩陣時的求解問題

推廣

用初等行（列）變換求一個矩陣的逆矩陣

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