小波精細積分法是求解拋物型偏微分方程的一種半解析數值方法. 該方法利用多尺度小波變換的基本原理, 構造多尺度小波插值運算元, 再利用該運算元將偏微分方程離散為常微分方程組. 最後利用精細積分法對該方程組進行求解. 相對於差分法離散, 多尺度小波插值運算元可大大壓縮離散得到的微分方程組的規模, 為後續精細積分法求解提供方便. 隨著偏微分方程在圖像處理中的套用, 小波精細積分法也已經推廣套用於圖像處理中.
基本介紹
- 中文名：小波精細積分
- 外文名：Wavelet Precise Integration Method
- 類型：半解析數值
- 用途：圖像處理
定義,性質,套用,
定義
小波理論作為一種新的數學工具迅速發展起來，被廣泛地套用於信號處理、圖象壓縮、模式識別和微分方程求解等。小波分析的最大長處是可以根據實際需要任意改變分析尺度，具有很高的解析度，同時由於小波函式在時頻兩空間均具有良好的局部化特性，所以小波對信號奇性分析有重要意義。基於小波分析的這種特性，很多學者致力於將小波方法套用於求解具有奇異解偏微分方程的研究中且已取得很大進展。
通過引入一種具有插值特性的小波，如Shannon小波、Shannon-Cosine小波，然後利用插值小波理論構造了多層自適應插值小波運算元，利用該運算元在空間實現了偏微分方程的自適應離散，將偏微分方程轉化為低維微分方程組。由於採用了自適應插值小波變換的概念，方程組規模比採用差分法得到的方程組小很多，為使用精細積分法奠定了基礎。
將小波方法和精細時程積分方法相結合，得到的小波精細積分法， 可充分發揮二者數值精度較高的優點。外推法的引入可進一步提高該方法的計算效率，而且使時間積分步長的選取具有了自適應性。
性質
偏微分方程的高精度計算方法。
套用
（1）Burgers方程的求解；
（2）期權定價模型Black-Schole模型的求解；
（3）圖像處理
（4）振動問題求解
（5）分數階偏微分方程的求解
（6）時滯拋物型偏微分分方程的求解
（7）軸心軌跡提純
（8）水土侵蝕模型分析
