對稱密碼中涉及的差集和Bent函式研究

《對稱密碼中涉及的差集和Bent函式研究》是依託南京航空航天大學，由曹喜望擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：對稱密碼中涉及的差集和Bent函式研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：曹喜望
• 依託單位：南京航空航天大學

項目摘要

差集與（廣義）Bent函式是密碼學中兩個重要且熱門的研究課題，它們在對稱密碼的設計中有重要的套用。例如利用差集可以構造一些具有良好相關性質的序列，利用（廣義）Bent函式，完全非線性函式可以構造一些好的認證協定等等。在一定條件下，差集，Bent函式，完全非線性函式的存在性是等價的，可以相互構造。本課題主要研究差集與Bent函式以及其他一些重要的密碼函式的性質與構造。利用有限域和Galois環上的代數與幾何結構及其算術性質，構造差集，Bent函式等；利用群論，代數數論，代數幾何等知識，分析一些理想類群的結構，確定一些代數曲線的分類，決定一些指數和的分布，決定一些Diophtine方程的解數，由此得到關於差集與Bent函式的存在性結果，最後利用這些結果構造一些好的循環碼，確定這些碼的參數，構造一些認證體系等。

結題摘要

差集和Bent函式是組合學和密碼學中兩類重要的並且有關聯的研究對象。例如，在密碼學中廣泛研究的（廣義）Bent函式等價於一些特殊差集的存在性。利用差集可以構造出一些具有良好性質的序列及認證碼等等。本項目主要研究差集和Bent函式以及其他一些重要的密碼函式的聯繫，利用有限域上的一些幾何結構，如代數曲線，空間結構等等來構造差集，同時利用差集和置換多項式來構造一些（廣義的）Bent函式，正規Bent函式，完全非線性函式（平面函式）等等。我們對有限域上一類重要的指數和--Kloosterman和得到了一系列好的結果，利用這些結果我們構造了一類bent函式，得到了一些函式是bent或者semi-bent的判定條件。同時對一些混合指數和我們給出了它們的遞推公式以及上界；我們構造了有限域上一些不可約多項式與置換多項式，利用這些結果我們可以構造一些密鑰交換協定；我們對有限域上幾類方程的解的個數給出了明確的計算公式；同時我們也給出了一類循環碼的重量分布；利用利用超橢圓曲線和Dickson多項式構造了一些Singer差集；我們與香港科技大學的丁存生教授合作完成了對幾類不可約循環碼的極小冪等元和重量分布的研究，得到了冪等元的明確公式。另外我們利用分圓數構造了一些廣義差集，研究了他們對應序列的線性複雜度等密碼指標。完成了一部專著--《代數密碼學導引（上）》的寫作，正在聯繫出版的事宜。對於廣義bent函式，項目合作者岳勤教授將這類函式的存在性轉化為一些丟番圖方程的解的存在性，然後利用類域論的方法給出了廣義bent函式的存在性的判定條件。同時他還利用分圓類構造了強正則圖。