基本介紹
- 中文名：定向糾纏
- 外文名：orientation entanglement
簡介,概述,數學細節,
簡介
概述
空間矢量並不足以完整描述空間中的旋轉。考慮如下的例子：
房間中有一隻咖啡杯，握把與對側各黏有一條彈性橡皮帶，橡皮帶的另一端則固定在房間牆壁上，如此使咖啡杯懸浮著。握把以杯碗的中心對稱軸旋轉了360°，回到原來的位置。注意到雖然杯子看似回到原始的位置定向，但其相對牆壁的定向則發生扭結。若我們將咖啡杯壓低至地板上，兩條橡皮帶將互相纏繞成雙螺旋狀的一匝扭轉。此即定向糾纏——透過纏繞的橡皮帶可以得知，咖啡杯在房間中的新定向其實不同於舊的定向。換句話說，咖啡杯的定向與周圍牆壁的定向發生了糾纏。
若畫一個矢量跨越咖啡杯，而矢量箭頭朝向咖啡杯握把。在完整旋轉360°後，矢量會跟原來的矢量疊合。透過矢量本身並無法得知咖啡杯的定向與房間牆壁的定向發生糾纏。很顯然，空間矢量幾何本身並不足以表示定向糾纏（橡皮帶的扭結）。事實上，若不再旋轉咖啡杯，則扭結無法解開。若我們不是360°旋轉咖啡杯，而是720°旋轉咖啡杯；當我們將壓低咖啡杯至地板上，會發現兩條橡皮帶將互相纏繞成雙螺旋的兩匝扭轉。若將咖啡杯向上挪，通過螺旋中心挪到另一側，則扭結消失不見，橡皮帶不再彼此纏繞。並不需要做額外的旋轉即恢復原狀。
因此，透過附在咖啡杯上的矢量，我們無法區分360°旋轉與720°旋轉的差異；若附在咖啡杯上的改為旋量，則變成可以區分這兩種情形。在此情況下，旋量變得有點像是一種“極化”的矢量，其可表示為一個在莫比烏斯帶上移動的矢量。一開始在莫比烏斯帶正面，箭頭朝環帶內；在旋轉360°後，矢量移到莫比烏斯帶背面，箭頭朝環帶外。若再轉360°（總和720°），才回到莫比烏斯帶正面，並且箭頭朝環帶內，相應於咖啡杯與橡皮帶的例子。
數學細節
三維空間中，上述的例子對應到SO(3)李群不是單連通的。我們可以展示亦是三維歐幾里得空間中旋量群的特殊酉群SU(2)，其為SO(3)的雙覆疊群。若X= (x1,x2,x3)是R中的矢量，則我們可以將X表示作具有複數元素的2 × 2矩陣
酉群M∈ SU(2)作用在X：
因為M是么正的，則
，並且
為零跡數的厄米矩陣。
