完全門德爾森設計(perfect Mendelsohn design)是一種特殊類型的圖設計，以C'k記k個頂點k條弧的有向圈，稱(n，k，λ)C'k設計為門德爾森設計，簡記為(n，k，λ)-MD。若對每一個r(1≤r≤k-1)以及對任意兩個相異頂點x和y，某個(n，k，λ)-MD中恰有λ個G區組含x及y，使每一個這樣的有向圈中從x到y的有向距離為r，則稱該MD為完全門德爾森設計，記為(n，k，λ)-PMD。
基本介紹
- 中文名：完全門德爾森設計
- 外文名：perfect Mendelsohn design
- 所屬學科：數學（組合學）
- 簡介：一種特殊類型的圖設計
- 符合：(n，k，λ)-PMD
基本介紹,相關說明,相關概念,
基本介紹
以
記k個頂點k條弧的有向圈，稱(n，k，λ)設計為門德爾森設計，簡記為(n，k，λ)-MD。若對每一個r(1≤r≤k-1)以及對任意兩個相異頂點x和y，某個(n，k，λ)-MD中恰有λ個G區組含x及y，使每一個這樣的有向圈中從x到y的有向距離為r，則稱該MD為完全門德爾森設計，記為(n，k，λ)-PMD。
相關說明
若忽略掉G區組中頂點之間的鄰接關係而將G區組看做頂點集的一個子集，則從一個(n，k，λ)-PMD可以得到一個(n，k，λ(k-1))-BIBD。另一方面，從每一點開始按G區組的有向圈方向寫下所有k個頂點作為正交表的一行，這樣可得λn(n-1)個行，再添上λ個形如xx…x行，這裡x取遍n個頂點，於是，可得一個正交表OA(λn，k，n，2)，特別地，當(n，k，1)-PMD存在時，也存在OA(n，k)，這等價於k-2個n階相互正交拉丁方的存在性，因此，(6，5，1)-PMD與(6，6，1)-PMD都不存在。門德爾森(N.S.Mendelsohn)證明：(n，3，λ)-PMD 存在的充分必要條件是
λn(n-1)≡0(mod 3)且(n，λ)≠(6，1).
他還首先研究了(n，4，1)-PMD，指出這樣的設計等價於滿足擬群恆等式yx·xy=x的一個n階冪等擬群。目前，當k=4，5時，(n，k，λ)-PMD的存在性已基本解決。
相關概念
G設計是平衡不完全區組設計的一種推廣，設G是有k個頂點且無孤立點的簡單無向圖，λKn是n個頂點的λ重完全無向圖，重邊看做不同的邊，若該完全圖能分解成若干個無公共邊的子圖，每一個都與G同構，則稱這樣的分解為一個圖設計，記為(n，k，λ)G設計。當G=Kk時，一個(n，k，λ)G設計就是一個(n，k，λ)-BIBD。圖設計可以看成BIBD設計的區組中引入點之間的某種鄰接關係後的推廣，這些同構子圖稱為G區組。當G為有向圖時，將λKn改為λ重完全有向圖λKn，可類似定義(n，k，λ)G設計。當G為無向圖且(n，k，λ)G設計存在時，λn(n-1)≡0(mod 2e)且λ(n-1)≡0(mod d)，式中e是圖G的邊數而d是G的所有頂點度數的最大公因數。當G為有向圖且(n，k，λ)G設計存在時，λn(n-1)≡0(mod e)，λ(n-1)≡0(mod d)且
λ(n-1)≡0(mod d)，
式中的e是圖G中弧的條數，而d與d分別是所有頂點的出度數的最大公因數及入度數的最大公因數。
