子層

子層是由子群關係對對應的層。

基本介紹

• 中文名：子層
• 外文名：subsheaf
• 適用範圍：數理科學

簡介

子層是由子群關係對對應的層。

設 (R,π,X) 與 (S,η,X) 是 X 上的群層，若 R 是 S 的開子集，η|R=π，且對所有的 是 的子群，則稱 (R,π,X) 是 (S,η,X) 的子層。

子群

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

如果群 G 的非空子集合 H 對於 G 的運算也成一個群，那么 H 稱為 G 的子群。 設 G 是群， H 是 G 的非空子集，且 H 關於 G 上的運算也構成群 ，則稱 H 是 G 的子群。

層

數學上，在給定拓撲空間X上的一個層(sheaf)(或譯束、捆)F對於X的每個開集給出一個集合或者一個更豐富的結構F(U) 。這個結構F(U) 和把開集限制(restricting)到更小的子集的操作相容，並且可以把小的開集粘起來得到更大的。一個預層(presheaf)和一個層相似，但它可能不可以粘起來。事實上，層使得我們可以用一種細緻的方式討論什麼是局部性質，就像套用在函式上的層。

層用於拓撲，代數幾何和微分幾何，只要想跟蹤給定的幾何空間的隨著每個開集變化的代數數據，就可以用層。他們是研究局部有變化(依賴於所選開集的)的對象的全局工具。這樣，它們是研究有局部本質的實體的全局行為的自然工具，例如開集，解析函式，流形，等等。

作為一個典型的例子，考慮拓撲空間X，對於每個X中的開集U，令F(U) 為所有連續函式U→R的集合。如果V是U的開子集，則U上的函式可以限制到V上，而我們得倒映射F(U) →F(V) 。"粘合"描述了下列過程：假設U_i是給定的開集其並為U，對於每個i我們給定一個元素f_i∈F(U_i) ，一個連續函式f_i:U_i→R。如果這些函式在重合的地方相等，則我們可以一種唯一的方式把他們粘起來得倒一個連續函式f:U→R，它和所有給定的函式f_i一致。所有集合F(U) 的類和限制映射F(U) →F(V) 成為一個X上的集合的層。進一步的，每個F(U) 是一個交換環，而限制映射是環同態，這使F成為X上的環的層。

作為很相似的例子，考慮一個微分流形X，對於X的每個開集U，令F(U) 為所有可微函式U→R的集合。這裡同樣的有粘合，並且我們得倒X上的環的層。另一個X上的層是，對於X的每個開集U給定所有定義在U上的可微向量場的向量空間。限制和粘合向量場和函式上的操作一樣，然後我們得倒流形X上的向量空間的層。