奇點範疇與叢範疇

《奇點範疇與叢範疇》是依託南京大學，由楊東擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：奇點範疇與叢範疇
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：楊東
• 依託單位：南京大學

項目摘要

對奇點範疇的研究是近年來數學物理、代數幾何和表示論中的熱門課題。本項目計畫對某些特殊的Noether環（如三維商奇點、有理曲面奇點以及一般有限維代數）的奇點範疇進行刻劃和研究。我們擬採取的方法是研究非交換奇點消解束旋艱盛以及相應的相對奇點範疇，並利用微分分次代數作為工具。本項目的重點是對三維商奇點的奇點範疇的刻劃，我們將討論其與帶勢箭圖的叢範疇之間的關係。其次是對有理曲面奇點的奇點範疇性質的研究，我們猜測它有加性生成元，並且它的態射有限性等價於奇點的Gorenstein性。最後，對有限維代數，我們計畫通過例子來尋找合適的非交換奇點消解的概念。

結題摘要

對奇點的研究是數學很多分才危白支（如數學物理、代數幾何、交換代數等）中的重要課題。受交詢祝良換代數的啟發，Buchweitz於1987年提出了Noether環的奇點範疇的概念，並由Orlov於2004年推廣到一般（交換）概型上。這是一個三角範疇，它承載了概乘格挨型奇異性的同調信息。由於在同調鏡像猜想中有著重要套用，加之其本身為一重要同調對象，奇點範疇的研究是目前數學物理、代數幾何以及表示論中的熱門課題。 我們關心的是用代數方法對Noether環的奇點範疇進行刻劃。一般來說，完全的刻劃難以實現，因此我們致力於將奇點範疇刻劃為與某種更簡單結構有關的三角範疇，如帶勢箭圖的叢範疇。本項目最重要的進展是給出了Gorenstein三維商奇點的奇點範疇的刻劃，具體來說，證明了Gorenstein三維商奇點的奇點範疇三角等價於某帶勢箭圖的小叢範疇。這一結果將之前de Voelcsey, Van den Bergh和Amiot, Iyama, Reiten對Gorenstein三維孤立商奇點的刻劃推廣轎歡習到鍵槳了一般情形。其中的關鍵步驟是研究奇點範疇與非交換奇點解消所對應的相對奇點範疇之間的關係，以及對相對奇點範疇的微分分次代數的構造。這兩項研究適用於一般情況，作為它們的另兩個套用，我們對兩個已姜妹享幾知結論給出了新的證明：有理曲面奇點的奇點範疇一定有加性生成元，以及根方零代數的奇點範疇三角等價於Leavitt路代數的完備導出範疇。