在廣義相對論中， 對奇點的研究是一個重要的課題， 它既是能量條件最早的套用之一， 也是全局方法在廣義相對論中初試鋒芒的範例。 我們在 “能量條件簡介” 的 引言 中曾經提到， 廣義相對論的經典解 - 比如 史瓦茲旭爾得（Schwarzschild ）解 - 存在奇異性。 這其中有的奇異性 - 比如 史瓦茲旭爾得解中的 r=2m - 可以通過坐標變換予以消除， 因而不代表物理上的奇點； 而有的奇異性 - 比如 Schwarzschild 解中的 r=0 - 則是真正的物理奇點。 很明顯， 在奇點研究中， 真正的物理奇點才是我們感興趣的對象。
基本介紹
- 中文名：奇（qí）點定理
- 外文名：singularity
- 奇點：物理上一個存在又不存在的點
- 宇宙：必須開始於一個奇點
- 大小：奇點沒有大小，無限大或無限小
- 質量：無限質量
基本信息,奇點,奇點定理,歷史發展,
基本信息
奇點
物理上把一個存在又不存在的點稱為奇點。
空間和時間具有無限曲率的一點，空間和時間在該處完結。經典廣義相對論預言奇點將會發生。在具有合理物質源的廣義相對論的經典理論中引力坍縮情形中的空間-時間奇性是不可避免的，在一定情形下奇點必須存在——特別是宇宙必須開始於一個奇點。 但由於理論在奇點處失效，所以不能描述在奇點處會發生什麼。
作為一個世界的發生之初,它應該具有所有形成現在宇宙中所有物質的勢能,所以它是無形的。同時我們還可以想像,在某一點上宇宙奇點的這一勢能平衡被打破,於是乎能量便不斷轉換為物質,而經過若干年而形成了我們現在的宇宙---物質與能量的共生體.
然而我們不能想像的出的是什麼東西引發了這一奇點勢能平衡的被破壞.
奇點是沒有大小的“幾何點”，就是不實際存在的點，這是很令人難於理解的。令人難於理解的還有，沒有大小的奇點物質竟然是能級無限大的物質。這些是同我們現有的理論和觀念不相合的。
物理學上面的奇點，多見於描述黑洞中心的情況。此時因為物質在此點密度極高，向內吸引力極強，因此物質壓縮在體積非常小的點，此時此刻的時空方程中，就會出現分母無窮小的描述，因此物理定律失效。奇點是天體物理學概念,認為宇宙剛生成時的那一狀態.
引力奇點（Gravitational singularity）是大爆炸宇宙論所說到的一個“點”，即“大爆炸”的起始點。該理論認為宇宙（時間－空間）是從這一“點”的“大爆炸”後而膨脹形成的。奇點是一個密度無限大、時空曲率無限高、熱量無限高、體積無限小的“點”，一切已知物理定律均在奇點失效。
我們熟知的物理學定律失效的地點。奇點一般被看成點，但原則上它們可以取一維的線或甚至二維的膜的形式。按照廣義相對論的方程式，只要形成了一個無自轉的史瓦西黑洞，該黑洞事件視界內部的物質必然在引力作用下塌陷成一個密度無窮大的點，即奇點（羅傑·彭羅斯）。宇宙從大爆炸開始的均勻膨脹就是這種黑洞坍縮的鏡像反轉，意味著宇宙誕生在一個奇點中。
奇點定理
確切地講， 奇點定理的證明是要通過這對彼此矛盾的結果來論證以下五個條件不可能同時成立：
時空是測地完備的。
強能量條件成立。
一般性條件成立。
時空滿足時序條件。
時空中存在一個非時序點集 S， 使得 E+（S） 與 E-（S） 緊緻。
限於篇幅， 我們只能簡單敘述一下論證的思路。 在上述五個條件中， 1~3 是 第三節 所介紹的證明奇點定理的第一步所用的條件， 由此推知的是每條非類空測地線上都存在共軛對。 1 和 4 所推知的 - 如上文所述 - 是時空滿足強因果條件。 而由強因果條件與 5 則可以證明這樣一個結果： 時空中存在一個包含一條未來不可延拓類時曲線 γ 及一條過去不可延拓類時曲線 λ 的全局雙曲區域 M。 利用這一結果就可以證明時空中存在一條沒有共軛對的非類空測地線。 具體的做法是： 在 λ 上取一個沿過去方向趨於無窮的點集 an， 同時在 γ 上取一個沿未來方向趨於無窮的點集 bn （選取時使得 b1 在 a1 的類時未來， 從而保證所有 bn 都在 an 的類時未來）。 由於 M 是全局雙曲的， 因此 - 如上文所述 - 在每一對 an 和 bn 之間都存在一條 （長度最大的） 非類空測地線 μn， 其上在 an 和 bn 之間不存在 an 的共軛點。 可以證明， M 中的這一由非類空測地線 μn 組成的無窮集合必定存在一個 “聚點” μ， 它是一條非類空測地線， 並且其上不存在任何共軛對。 這樣， 我們就得到了與第一步所得的 “每條非類空測地線上都存在共軛對” 相矛盾的結論， 從而證明了上述五個條件不可能同時成立。
既然上述五個條件不可能同時成立， 那么我們就可以用其中四個條件為前提 （即假定這四個條件成立）， 來推翻剩下的那個條件[注二]。 Hawking 與 Penrose 所做的是以 2~5 為前提， 來推翻 1， 即證明時空不是測地完備的。 按照我們在 第一節 所作的定義， 這表明時空中存在奇點。 這就是 Hawking 與 Penrose 的奇點定理。
在被奇點定理採用為前提的 2~5 中， 2~4 都有明確的物理意義， 唯獨 5 - 即時空中存在一個非時序點集 S， 使得 E+（S） 與 E-（S） 緊緻 - 顯得很抽象。 幸運的是， 我們可以用一些物理意義更為明確的條件來取代這一抽象的數學條件。 在上文中我們介紹過， 如果強能量條件成立， 則對於任何封閉陷獲面 S， E+（S） 與 E-（S） 緊緻。 由於強能量條件已經包含在 2~4 中了， 因此我們可以用 “時空中存在封閉陷獲面” 來取代 5， 這個條件在物理上可以由足夠緻密的星體來滿足。 除此之外， Hawking 與 Penrose 還提出了另外兩個條件來取代 5： 一個是 “時空中存在緊緻無邊的非時序點集”[注三]， 這個條件在物理上可以由空間上有限無邊的宇宙來滿足； 另一個是 “時空中存在一個點， 通過該點的所有未來 （或過去） 方向的類光測地線束的膨脹標量 θ 最終將變為負值”， 這個條件在物理上可以由局部膨脹或收縮的宇宙來滿足。 這三個都是原則上可以檢驗， 並且很可能在我們的宇宙中已經得到滿足的條件。至此， 我們可以對 Hawking 與 Penrose 所證明的奇點定理做一個完整的表述：
Hawking-Penrose 奇點定理: 一個時空若滿足以下條件， 就必定是非類空測地不完備的 （即存在奇點）：
1. 強能量條件成立。
2. 一般性條件成立。
3. 滿足時序條件。
4. 以下三個條件之一成立：
a. 存在封閉陷獲面。
b. 存在緊緻無邊非時序點集。
c. 存在一個點， 通過該點的所有未來 （或過去） 方向的類光測地線束的膨脹標量 θ 最終將變為負值。
奇點
時空是測地完備的。
強能量條件成立。
一般性條件成立。
時空滿足時序條件。
時空中存在一個非時序點集 S， 使得 E+（S） 與 E-（S） 緊緻。
限於篇幅， 我們只能簡單敘述一下論證的思路。 在上述五個條件中， 1~3 是 第三節 所介紹的證明奇點定理的第一步所用的條件， 由此推知的是每條非類空測地線上都存在共軛對。 1 和 4 所推知的 - 如上文所述 - 是時空滿足強因果條件。 而由強因果條件與 5 則可以證明這樣一個結果： 時空中存在一個包含一條未來不可延拓類時曲線 γ 及一條過去不可延拓類時曲線 λ 的全局雙曲區域 M。 利用這一結果就可以證明時空中存在一條沒有共軛對的非類空測地線。 具體的做法是： 在 λ 上取一個沿過去方向趨於無窮的點集 an， 同時在 γ 上取一個沿未來方向趨於無窮的點集 bn （選取時使得 b1 在 a1 的類時未來， 從而保證所有 bn 都在 an 的類時未來）。 由於 M 是全局雙曲的， 因此 - 如上文所述 - 在每一對 an 和 bn 之間都存在一條 （長度最大的） 非類空測地線 μn， 其上在 an 和 bn 之間不存在 an 的共軛點。 可以證明， M 中的這一由非類空測地線 μn 組成的無窮集合必定存在一個 “聚點” μ， 它是一條非類空測地線， 並且其上不存在任何共軛對。 這樣， 我們就得到了與第一步所得的 “每條非類空測地線上都存在共軛對” 相矛盾的結論， 從而證明了上述五個條件不可能同時成立。
既然上述五個條件不可能同時成立， 那么我們就可以用其中四個條件為前提 （即假定這四個條件成立）， 來推翻剩下的那個條件[注二]。 Hawking 與 Penrose 所做的是以 2~5 為前提， 來推翻 1， 即證明時空不是測地完備的。 按照我們在 第一節 所作的定義， 這表明時空中存在奇點。 這就是 Hawking 與 Penrose 的奇點定理。
在被奇點定理採用為前提的 2~5 中， 2~4 都有明確的物理意義， 唯獨 5 - 即時空中存在一個非時序點集 S， 使得 E+（S） 與 E-（S） 緊緻 - 顯得很抽象。 幸運的是， 我們可以用一些物理意義更為明確的條件來取代這一抽象的數學條件。 在上文中我們介紹過， 如果強能量條件成立， 則對於任何封閉陷獲面 S， E+（S） 與 E-（S） 緊緻。 由於強能量條件已經包含在 2~4 中了， 因此我們可以用 “時空中存在封閉陷獲面” 來取代 5， 這個條件在物理上可以由足夠緻密的星體來滿足。 除此之外， Hawking 與 Penrose 還提出了另外兩個條件來取代 5： 一個是 “時空中存在緊緻無邊的非時序點集”[注三]， 這個條件在物理上可以由空間上有限無邊的宇宙來滿足； 另一個是 “時空中存在一個點， 通過該點的所有未來 （或過去） 方向的類光測地線束的膨脹標量 θ 最終將變為負值”， 這個條件在物理上可以由局部膨脹或收縮的宇宙來滿足。 這三個都是原則上可以檢驗， 並且很可能在我們的宇宙中已經得到滿足的條件。至此， 我們可以對 Hawking 與 Penrose 所證明的奇點定理做一個完整的表述：
Hawking-Penrose 奇點定理: 一個時空若滿足以下條件， 就必定是非類空測地不完備的 （即存在奇點）：
1. 強能量條件成立。
2. 一般性條件成立。
3. 滿足時序條件。
4. 以下三個條件之一成立：
a. 存在封閉陷獲面。
b. 存在緊緻無邊非時序點集。
c. 存在一個點， 通過該點的所有未來 （或過去） 方向的類光測地線束的膨脹標量 θ 最終將變為負值。
奇點歷史發展
這個定理是 Hawking 與 Penrose 於 1970 年提出並證明的。 如我們在上文中所說， 這並不是最早的奇點定理。 Penrose 於 1965 年， Geroch 於 1966 年， Hawking 於 1967 年等都提出過奇點定理。 比較之下， Hawking-Penrose 奇點定理所要求的條件在物理上最容易實現， 並且涵蓋面也廣， 因此人們提到奇點定理的時侯通常指的就是這一定理[注四]。 Hawking-Penrose 奇點定理不依賴於對稱性， 它對於確立廣義相對論中奇點的存在性及普遍性來說是非常強有力的， 同時它也是對我們在 能量條件簡介的引言 中所介紹的奇點產生原因之爭的判決性結論。 但 Hawking-Penrose 奇點定理也有一個顯而易見的缺點， 那就是它既無法告訴我們究竟哪一條非類空測地線是不完備的， 也無法提供有關奇點具體性質的信息。 這一缺點為後人加強奇點定理的結論部分留下了空間。 不過要想加強奇點定理的結論部分， 往往不可避免地要對前提部分也予以加強， 從而有損定理的普遍性。
在 Hawking-Penrose 奇點定理的四個前提中， 前提 4 屬於初始及邊界條件， 並且實現的可能性極大。 事實上， 早在 Hawking-Penrose 奇點定理提出的年代， 天文觀測及理論研究就已經在很大程度上顯示出這個前提的三個子條件很可能部分甚至全部得到滿足。 前提 1 和 2 與人們在巨觀世界的觀測經驗相符， 因為迄今所知的所有巨觀物質的能量動量張量都滿足強能量條件， 而現實宇宙中物質 （包括宇宙微波背景輻射） 及引力波的分布無疑遍及全空間， 從而滿足一般性條件， 因此在以大尺度巨觀世界為主要描述對象的廣義相對論中， 這兩個前提被認為是適用的。 前提 3 所要求的不存在閉合類時曲線也具有不錯的經驗基礎， 因為時間的單向性是巨觀世界中最基本的經驗事實之一。 因此所有這四個前提都有其可信賴之處， 但如果一定要在這些前提中找出一個最有可能在現實物理世界中不成立的， 那么 - 如我們將在後文中看到的 - 能量條件 （即前提 1） 將是首選， 因為理論與觀測都表明它事實上就不成立。 不過， 能量條件的破壞主要來自量子效應， 而我們所討論的奇點定理是經典廣義相對論中的命題， 兩者在所涉範圍上有出入。 如果我們不考慮量子效應， 或者說只考慮經典廣義相對論， 又有哪一個前提最值得懷疑呢？ 一般認為是時序條件 （即前提 3）。 這一條件要求不存在閉合類時曲線。 它之所以值得懷疑， 主要有兩個原因： 一是因為廣義相對論的某些特殊解事實上允許閉合類時曲線存在 （參閱 時間旅行: 科學還是幻想？）， 雖然迄今為止那些解還沒有一個得到過任何觀測上的支持； 二是由於閉合類時曲線實際上是一種抽象的時間機器， 這是一種在很多方面都很引人入勝的東西。 因此有些物理學家把廣義相對論沒有在原理層面上禁止閉合類時曲線， 視為是一個很值得探索的理論問題。
如果時序條件有可能被破壞， 那就產生了一個很自然的問題： 即我們是否可以通過作一個與 Hawking-Penrose 奇點定理不同的選擇， 把測地完備性作為定理的前提之一， 而把時序條件的破壞 （從而允許時空中存在閉合類時曲線） 作為定理的結論呢[注六]？ 對這種可能性物理學家們也進行過一些研究。 1977 年， 美國圖蘭大學 （Tulane University） 的物理學家 F. Tipler 研究了漸近平直時空中有限大小的閉合類時曲線， 結果發現在強能量條件與一般性條件等條件成立的情況下， 這樣的曲線在測地完備時空中是不可能出現的[注七]。 其他一些物理學家後來也做了這方面的研究和推廣， 包括使用更弱的條件， 以及推廣時序破壞的定義等， 得到的結果都類似。 這些結果成為後來 Hawking 提出所謂時序保護假設 （chronology protection conjecture） 的基礎之一。 這些結果表明， 時序條件的破壞在很大程度上本身就意味著測地完備性的破壞， 因而放棄時序條件並不能挽回測地完備性[注八]。 這一結果在一定程度上加強了奇點的不可避免性[注九]， 也進一步支持了 Hawking-Penrose 奇點定理的合理性 - 當然， 所有這一切都限於經典廣義相對論的範圍。
在 Hawking-Penrose 奇點定理的四個前提中， 前提 4 屬於初始及邊界條件， 並且實現的可能性極大。 事實上， 早在 Hawking-Penrose 奇點定理提出的年代， 天文觀測及理論研究就已經在很大程度上顯示出這個前提的三個子條件很可能部分甚至全部得到滿足。 前提 1 和 2 與人們在巨觀世界的觀測經驗相符， 因為迄今所知的所有巨觀物質的能量動量張量都滿足強能量條件， 而現實宇宙中物質 （包括宇宙微波背景輻射） 及引力波的分布無疑遍及全空間， 從而滿足一般性條件， 因此在以大尺度巨觀世界為主要描述對象的廣義相對論中， 這兩個前提被認為是適用的。 前提 3 所要求的不存在閉合類時曲線也具有不錯的經驗基礎， 因為時間的單向性是巨觀世界中最基本的經驗事實之一。 因此所有這四個前提都有其可信賴之處， 但如果一定要在這些前提中找出一個最有可能在現實物理世界中不成立的， 那么 - 如我們將在後文中看到的 - 能量條件 （即前提 1） 將是首選， 因為理論與觀測都表明它事實上就不成立。 不過， 能量條件的破壞主要來自量子效應， 而我們所討論的奇點定理是經典廣義相對論中的命題， 兩者在所涉範圍上有出入。 如果我們不考慮量子效應， 或者說只考慮經典廣義相對論， 又有哪一個前提最值得懷疑呢？ 一般認為是時序條件 （即前提 3）。 這一條件要求不存在閉合類時曲線。 它之所以值得懷疑， 主要有兩個原因： 一是因為廣義相對論的某些特殊解事實上允許閉合類時曲線存在 （參閱 時間旅行: 科學還是幻想？）， 雖然迄今為止那些解還沒有一個得到過任何觀測上的支持； 二是由於閉合類時曲線實際上是一種抽象的時間機器， 這是一種在很多方面都很引人入勝的東西。 因此有些物理學家把廣義相對論沒有在原理層面上禁止閉合類時曲線， 視為是一個很值得探索的理論問題。
如果時序條件有可能被破壞， 那就產生了一個很自然的問題： 即我們是否可以通過作一個與 Hawking-Penrose 奇點定理不同的選擇， 把測地完備性作為定理的前提之一， 而把時序條件的破壞 （從而允許時空中存在閉合類時曲線） 作為定理的結論呢[注六]？ 對這種可能性物理學家們也進行過一些研究。 1977 年， 美國圖蘭大學 （Tulane University） 的物理學家 F. Tipler 研究了漸近平直時空中有限大小的閉合類時曲線， 結果發現在強能量條件與一般性條件等條件成立的情況下， 這樣的曲線在測地完備時空中是不可能出現的[注七]。 其他一些物理學家後來也做了這方面的研究和推廣， 包括使用更弱的條件， 以及推廣時序破壞的定義等， 得到的結果都類似。 這些結果成為後來 Hawking 提出所謂時序保護假設 （chronology protection conjecture） 的基礎之一。 這些結果表明， 時序條件的破壞在很大程度上本身就意味著測地完備性的破壞， 因而放棄時序條件並不能挽回測地完備性[注八]。 這一結果在一定程度上加強了奇點的不可避免性[注九]， 也進一步支持了 Hawking-Penrose 奇點定理的合理性 - 當然， 所有這一切都限於經典廣義相對論的範圍。
