奇異二次曲線

奇異二次曲線(singular quadratic curve)是二次曲線的特殊類型，若二次曲線是由兩條直線構成的，則稱為奇異的或退化的二次曲線。否則稱為非奇異的或非退化的二次曲線。

基本介紹

• 中文名：奇異二次曲線
• 外文名：singular quadratic curve
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：高等幾何(仿射幾何)
• 簡介：二次曲線是由兩條直線構成的

基本介紹

若二次曲線是由兩條直線構成的，則稱為奇異的或退化的二次曲線，否則稱為非奇異的或非退化的二次曲線。如果曲線方程為：

那么它是奇異二次曲線的充分必要條件是

二次曲線有奇點的充分必要條件為它是奇異的。

相關介紹

二次曲線與無窮遠直線的相關位置

在仿射平面上，齊次仿射坐標滿足三元二次方程

的點的集合叫做仿射平面上的二次曲線。在方程(1)中，係數a_ij為實數且至少有一個不為零，方程(1)叫做仿射平面上的二次曲線的方程。

方程(1)可簡寫成

方程(1)也可以用矩陣表示為

其中矩陣叫做二次曲線(1)的係數矩陣，或表示係數行列式，且。

當時，則此二次曲線叫做非退化的二次曲線；當時，此二次曲線叫做退化的二次曲線。

現在求無窮遠直線與二次曲線的交點，把代入方程(1)，得

從而解得

因此，當時，方程(2)有兩個不相等的實根；

當時，方程(2)有兩個相等的實根；

當時，方程(2)有兩個共軛的虛根。

根據二次曲線與無窮遠直線相交的情況，即根據的符號，我們把式(1)所表示的二次曲線進行分類。

定義 當A₃₃>0時，方程(1)所表示的曲線叫做橢圓型二次曲線；當A₃₃=0時，方程(1)所表示的曲線叫做拋物型二次曲線；當A₃₃<0時，方程(1)所表示的曲線叫做雙曲型二次曲線。而且，當時，上述三種類型的二次曲線分別叫做橢圓、拋物線、雙曲線。

由定義，顯然雙曲線與無窮遠直線有兩個實交點(即相割)，拋物線與無窮遠直線只有一個實交點(即相切)，橢圓與無窮遠直線有兩個共軛虛交點(即通常意義下的相離)，我們把二次曲線與無窮遠直線的交點叫做二次曲線上的無窮遠點。3種二次曲線與無窮遠直線的位置關係如圖1所示。

圖1

由定義顯然可知，一條非退化二次曲線為拋物線的充要條件是它與無窮遠直線相切。

二次曲線的射影分類

射影平面上二次曲線與下列五種曲線之一射影等價：

(1) (無圖形)

(2)(橢圓、雙曲線、拋物線)

(3) (一點)

(4) (一對相交直線)

(5) (一對重合直線)

其中前兩類是非退化的二次曲線，後三類是退化的二次曲線。