奇異自伴邊值問題(singular selfadjoint boundary value problem)是指在無窮區間或開區間上推廣的邊值問題。簡單地說，如果在自伴邊值問題中將a≤t≤b為有界閉區間這一條件換為開區間、半開區間或無窮區間，則這類邊值問題稱為奇異的。
基本介紹
- 中文名：奇異自伴邊值問題
- 外文名：singular selfadjoint boundary value problem
- 領域：數學
- 性質：邊值問題
- 本質：定解問題之一
- 函式：特徵函式
概念,邊值問題,區間,特徵函式,
概念
奇異自伴邊值問題是在無窮區間或開區間上推廣的邊值問題。簡單地說，如果在自伴邊值問題中將a≤t≤b為有界閉區間這一條件換為開區間、半開區間或無窮區間，則這類邊值問題稱為奇異的。嚴格地說，是指在上述邊值問題中的方程的係數在定義區間端點有奇性，或此區間為無窮區間的情形。因為這時相應微分方程不但有離散的特徵值，還有連續譜出現。相應地亦可研究奇異的自伴特徵值問題，諸如特徵函式的存在性，L(a，b)空間中函式的展開式和帕塞瓦爾等式等性質。但首先要研究在區間端點如何加適當的邊界條件。同時還可研究相應方程在其係數滿足什麼條件時只有連續譜，或只有點譜，或既有連續譜又有點譜的問題。
邊值問題
邊值問題是定解問題之一。只有邊界條件的定解問題稱為邊值問題。二階偏微分方程(組)一般有三種邊值問題：第一邊值問題又稱狄利克雷問題，它的邊界條件是給出未知函式本身在邊界上的值；第二邊值問題又稱諾伊曼邊值問題或斜微商問題，它的邊界條件是給出未知函式關於區域邊界的法嚮導數或非切嚮導數；第三邊值問題又稱魯賓問題，它的邊界條件是給出未知函式及其非切嚮導數的組合。
在給定的邊界條件下求解偏微分方程組的問 題。在彈性力學中，所要求解的應力分量、應變分量和位移分量，除應滿足平衡微分方程、幾何方程以及廣義胡克定律，還必須滿足給定的邊界條件。若為動力學問題，求出的位移還必須滿足初始條件。若物體為多連通，還需考慮位移單值的條件。按照所給出的邊界條件不同，有三類邊值問題。第一類邊值問題：已知作用於物體內的體力及其表面上的面 力，求解這類問題時應滿足應力的邊界條件。第二 類邊值問題：已知作用於物體內的體力及其表面上的位移，求解時應滿足給定的位移邊界條件。第三類問題，又稱為混合邊值問題：已知作用於物體內的體力，在一部分表面上面力為已知，而另一部分上位移是已知的。這三類邊值問題可以代表一些簡化的實際工程問題。
區間
數軸上一種最常用的點集。它有三類：閉區間[a，b]={x|a≤x≤b}，其中a，b是實數(下同)；開區間(a，b)={x|a<x<b}，(a，+∞)={x|x>a}，(-∞，b)={x|x<b}，(-∞，+∞)=R；半開區間(a，b]={x|a<x≤b}，[a，b)={x|a≤x<b}，[a，+∞)={x|x≥a}，(-∞，b]={x|x≤b}。半開區間又稱半閉區間。上面的a，b分別稱為相應的區間的左、右端點，區間中其他點稱為該區間的內點。上述各種區間中，[a，b]，(a，b)，[a，b)，(a，b]又稱有界區間或有限區間，其他的稱為無界區間或無限區間。對於a>0，區間[-a，a]，(-a，a)又稱為對稱區間.區間是數軸上的線段或射線或整個數軸，“開”(“閉”，“半開”)是指不包含(包含，只包含一個)其端點。在擴張的實數系R中，四種開區間可以用一個記號(a，b)表示，其中-∞≤a<b≤+∞。類似地，半開區間可以用[a，b)(a∈R，b∈R)或(a，b](a∈R，b∈R)表示。b-a稱為區間的長度.無界區間的長度是+∞。R本身也可寫作[-∞，+∞].除了單點集外，區間是R中僅有的連通集。文獻中常有以“]”和“[”分別代替“(”和“)”，而把(a，b)寫作]a，b[的寫法，類似地也有]a，+∞[等寫法。
特徵函式
矩陣特徵值概念的一種推廣。它是以函式為元素的矩陣的特徵多項式的根。設G(s)為函式域上的m×m矩陣，s為複數自變數，則滿足下列方程的函式g(s)即為矩陣G(s)的特徵函式：
