奇性傳播定理

奇性傳播定理(theorem of propagation of singularities)是給出偏微分方程解的非正則性的一種精確描述。

基本介紹

• 中文名：奇性傳播定理
• 外文名：theorem of propagation of singularities
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：偏微分方程
• 相關概念：偏微分方程，非正則性，次特徵等

基本介紹

設有標量主象徵是的零次特徵帶，在的鄰域上；再設在上，。如果在上，，那么在上，也有(對於，若記，有，並且，則稱在上)。特別地，如果，並且

那么如果有實主象徵，

並且，那么也有，而且。此外，在哈密頓場的作用下，是不變的，也就是奇性沿著的零次特徵帶上傳播。

次特徵

設p是一個給定的m階偏微分運算元，它的主象徵為實值函式，則稱

為的Hamilton向量場，它的積分曲線為下面方程組

的解，稱為次特徵帶(或簡稱為次特徵)，顯然，若滿足為過的次特徵帶，則由於

故有，這樣的次特徵帶稱為零次特徵帶。

下面敘述的運算元p將滿足條件：在p的特徵集上，這樣的運算元稱為主型運算元(或稱為狹義主型運算元)，由(2)知，對主型運算元，在其次特徵帶上任一點均有。

我們稱次特徵帶在空間上的投影為次特徵線。對於主型偏微分運算元來說，它的次特徵線不可能退化為一點。

一階雙曲型方程的情形

我們先考察一階雙曲型方程解的奇性傳播定理，對於一階線性偏微分方程，它的解容易直接求出，故解的奇性傳播規律也不難得到。下面我們討論一階雙曲型擬微分方程，它將成為對一般高階方程解的奇性傳播規律討論的準備。

設P為一階雙曲型擬微分運算元，它的主象徵是的正齊一次函式，由於，故不妨認為以下討論的P的形式為

其中為齊一次實函式，，它可以寫成為，這裡為次函式有如下的命題：

定理1 若P為(3)中定義的運算元，，為的零次特徵帶，，如果，則整個均不屬於。

高階方程的情形

定理2 設為m階具係數的偏微分運算元，它的主象徵為實函式，且滿足，u為滿足的解，如果滿足，則過的零次特徵帶上任一點均不屬於。