多重格線方法簡介

多重格線方法就是由對偏微分方程里得出的代數方程組的求解的研究引發出來的一種計算方法，多重格線方法的研究依然是一個熱點，特別是在非線性非對稱問題的求解上的使用。

基本介紹

• 中文名：多重格線方法
• 隸屬：偏微分方程
• 定義：代數方程組的求解的一種計算方法
• 套用：非線性非對稱問題

發展歷史

一個真正的多重格線方法的描述是Fedorenko於1961給出的，隨後在1964年他給出了一個特殊問題的多重格線方法，並給出了它的收斂性證明。Bachvalov和Astrakhantsev分別給出了更複雜的一些情況下的結果。但這三人是前蘇聯科學家，他們的工作一直沒有受到重視。1972年Brandt說明了多重格線法的有效性，第一次引起了西方科學家對多重格線方法的關注。隨後歐美的計算數學家投入了極大的精力到多重格線方法的研究中，大量的關於收斂性的證明出現。Nicolaides，Bank，Dupont，Hackbusch，Douglas，Bramble and Pasciak的一批學者都投入到這一工作中。其中，Hackbusch曾於上世紀八十年代多次到中國講授他的理論，使我國的學者接觸到多重格線方法。結合有限元方法，多重格線方法被用來計算求解各種各樣的計算問題。多重格線方法的研究成為一個熱點。多重格線方法的收斂性證明比較複雜，用代數的方法研究得到的結果比較難懂，許進超（Jinchao Xu）等人開始用泛函分析的工具研究這一問題，使得這方面的研究得到飛速的發展。其中，Bramble，Pasciak 和 Jinchao Xu提出了所謂BPX預處理子算法，它是現有的多重格線方法的主要組成之一，並被科學計算界廣泛使用，特別是它在並行計算方面的優越性。這一開創性工作引發了大量後繼研究。同時，Jinchao Xu與Bramble建立了處理無結構多重格線問題的基本框架，後來被從很多學者用來分析大量的多重格線和區域分裂方面的問題。由此引發了多重格線方法新的發展，出現了基於無結構格線的代數多重格線方法。許進超後來進一步發展了上述理論，建立了分析一大類疊代方法的統一框架，包括多重格線，區域分裂以及經典的Jacobi疊代、Gauss-Seidel疊代等。這些深入的研究形成了“空間分解與子空間校正”的一般性原理。以此為題發表在SIAM Review上的論文現已成為該領域的基本文獻。

現狀

多重格線方法的研究依然是一個熱點，特別是在非線性非對稱問題的求解上的使用。還有很多的學者在做這方面的研究。另一個發展方向是方法的推廣和軟體實現。由於在很多學科中，求解偏微分方程的軟體有著很大的市場。雖然在計算數學家中，多重格線方法是求解大型問題時最有效的方法，但在物理學家和力學家中還沒有足夠的知名度，在他們的工作中還沒有得到充分的使用。所以多重格線方法的軟體編寫實現成為一個熱點。多重格線方法在推廣上的難點主要是方法的理論本身比較有難度，接受起來比較困難。加上針對不同的問題有不同的方法，一般上手不是很容易。也需要發展一套普遍性技術，可使人們對很多不同的算法有更深刻的理解和做更簡明的理論分析。

回顧與展望

回顧多重格線方法的發展歷程，我們可以看到，就如一個學科發展的一般規律，這一方法提出之初，並沒有受到人們的重視。當人們認識到它的優越性，大量的人力物力投入到這一方法的研究中。於是這一方法得到了極大的發展。當然由於問題的不斷深化，問題的廣度已經很大，這一研究的熱潮還沒有過去，某種程度上還在升溫。同時一種方法的理論研究已經初具規模，而方法的實際套用還在推廣中。

相關

兩個重要國際會議:

1. Copper Mountain Conferences on Multigrid Methods, Copper Mountain, CO, USA

2. GAMM Workshops on (Parallel) Multilevel Methods.