《多尺度自適應方法的研究和套用》是依託浙江大學，由梁克維擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：多尺度自適應方法的研究和套用
- 依託單位：浙江大學
- 項目負責人：梁克維
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
多尺度方法是當前固體力學、材料科學、計算數學等多個研究領域的交叉前沿課題。本項目主要研究多尺度自適應方法在材料裂紋中的算法設計和數值實現。該方法的特點是：首先，利用異質多尺度方法的區域分治、質量動量能量守恆、允許不同尺度時間步長的特點，統一有效地結合h-和r-自適應方法；其次，採用基於Monge-Ampere方程的r-自適應方法，該方法可以有效處理非凸區域，並能較好地保持格線幾何結構，避免以往由於格線過度變形無法計算的情況；最後，借鑑多尺度模型中的區域分割思想，對區域再次進行區域分割簡化模型問題，使多尺度自適應方法在一些複雜問題的計算中發揮出靈活、高效的優勢。我們將結合目前斷裂力學領域所關心的裂紋傳播問題和燃燒科學中所關注的火焰傳播模型，深入研究多尺度自適應方法的算法設計和實現方式。
結題摘要
多尺度和自適應方法是當前固體力學、材料科學、計算數學等多個研究領域的交叉前沿課題。本項目實施以來，項目組成員圍繞斷裂力學領域所關心的裂紋傳播問題和燃燒科學中所關注的火焰傳播問題開展密切的合作研究，研究工作涉及計算建模、理論分析、算法實現，模擬驗證等相關內容。通過分工和合作，我們解決了研究計畫里多尺度建模和自適應方法在上述兩個問題套用中的一些重要問題，同時也探索了在研究建模、理論及計算中所遇到的新問題和新困難。經過四年的努力，我們項目組取得了一定的重要研究成果，主要為：對於非固定奇性問題，我們提出了將h-自適應和r-自適應方法結合的新自適應方法，可充分抓住奇異點處的信息，提高計算精度。我們將結果拓廣至二維的情況；另一方面，我們研究了基於移動邊界和區域分解思想的自適應方法，在每個小區間上用自適應方法求解；巨觀或者微觀尺度下，經常需要保持某些重要的物理守恆性，我們提出了一種自適應的有限體積方法。不同格線間的解是基於幾何守恆的插值得到的，而且對於空間再解大大降低了計算工作量；我們進一步研究發現材料的裂縫或者裂紋最終都會涉及到特徵值問題。針對特徵值最佳化問題，提出了一種貪婪算法，雖然該算法只是局部算法，無法保證求得全局最優解，但是收斂速度很快。而且給出了有限元的誤差分析和自適應加密的數值算法；在分子模型和模擬中,Irving-Kirkwood體系起到了非常重要的作用。在這個體系中可以根據微粒的位置和動能來計算某些連續介質力學物理量。因此,與其他近似方法相比,Irving-Kirkwood體系更加系統,它的推導不需要特殊的分子結構。但在實際執行中 ,Irving-Kirkwood體系只包含了空間平均。為此,我們提出了時間和空間同時平均的Irving-Kirkwood體系，包含和拓廣了Hardy的工作。特別是對於一般的核函式,我們得到了全新的結果；等等一系列重要研究成果。部分成果已經在國際重要刊物如The Journal of Chemical Physics，Numerische Mathematik上發表。
