多元代數插值的計算機數學方法

《多元代數插值的計算機數學方法》是依託吉林大學，由張樹功擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：多元代數插值的計算機數學方法
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：張樹功
• 依託單位：吉林大學

項目摘要

在科研和工程實踐中, 很多問題的實質都是高非線性的,這些問題的重要處理方法之一是逼近。因此,函式逼近理論一直受到各領域的科研和工程技術人員的重視。代數插值（包括多項式插值和有理插值）作為函式逼近的常見方法, 一直是科學計算領域的基本研究課題。然而對多元多項式插值和有理插值，因插值節點幾何分布的差異，問題遠比一元情形複雜的多，無論是插值函式空間的結構，插值函式的構造方法，數值計算方法的實現，還是誤差分析等方面的研究遠沒有一元情形成熟，成果不多，且多以分析學方法獲得。本項目將採用計算機數學的理論和工具，對一些具有特殊幾何分布的節點類，研究多元理想插值和Birkhoff型插值問題中插值空間的結構屬性，尋求有效的插值函式構造方法，研究插值誤差分析等；進而結合多項式插值理論的結果，研究多元Cauchy型、Hermite型及Birkhoff型有理插值問題，給出若干實用有效的函式構造和數值計算方法。

結題摘要

在科研和工程實踐中, 很多問題的實質都是高非線性的,這些問題的重要處理方法之一是逼近。因此,函式逼近理論一直受到各領域的科研和工程技術人員的重視。代數插值（包括多項式插值和有理插值）作為函式逼近的常見方法, 一直是科學計算領域的基本研究課題。然而對多元多項式插值和有理插值，因插值節點幾何分布的差異，問題遠比一元情形複雜的多，無論是插值函式空間的結構，插值函式的構造方法，數值計算方法的實現，還是誤差分析等方面的研究遠沒有一元情形成熟，成果不多，且多以分析學方法獲得。本項目將採用計算機數學的理論和工具，對一些具有特殊幾何分布的節點類，研究多元理想插值和Birkhoff 型插值問題中插值空間的結構屬性，尋求有效的插值函式構造方法，研究插值誤差分析等；進而結合多項式插值理論的結果，研究多元Cauchy 型、Hermite 型及Birkhoff 型有理插值問題，給出若干實用有效的函式構造和數值計算方法。在多項式插值的研究方面，我們給出了MB 算法的新的證明；提出了Hermite插值的幾何求基降秩算法；對於字典序下帶重結構有限點集的消逝理想，提出了Groebner 基計算的快速算法。對於多元 Birkhoff 插值空間問題，提出了Birkhoff 插值的極小單項基快速算法和不變的單項基，構造了Birkhoff 插值的穩定的單項基，提出了Birkhoff 插值的Lagrange型基函式。在有理插值插值函式的構造方法方面，提出了一種有理插值函式構造方法以及Neville型實現，對 Birkhoff型有理插值，提出了一種構造方法。對理想插值問題，針對幾種具有特殊屬性的理想插值運算元，提出了的離散化方法。對於理想插值誤差分析給出了Cartesian 點集上理想插值的誤差分析，給出了一般理想插值的誤差分析公式。我們還利用代數插值工具研究了矩陣方程求解以及同倫方法的研究。項目所取得的結果，對於多元逼近的理論的拓展與完善取得了一些很有意義的結果。