壓縮感測理論主要包括信號的稀疏表示、編碼測量和重構算法等三個方面。
基本介紹
- 中文名：壓縮感測（壓縮感知）
- 原理：將壓縮與採樣合併進行
- 套用領域：磁共振成像(MRI)
- 內容：編碼測量和重構算法
- 核心思想：將壓縮與採樣合併進行
原理,套用領域,相關問題,
原理
核心思想是將壓縮與採樣合併進行，首先採集信號的非自適應線性投影 (測量值)，然後根據相應重構算法由測量值重構原始信號。壓縮感測的優點在於信號的投影測量數據量遠遠小於傳統採樣方法所獲的數據量，突破了香農採樣定理的瓶頸，使得高解析度信號的採集成為可能。
信號的稀疏表示就是將信號投影到正交變換基時，絕大部分變換係數的絕對值很小，所得到的變換向量是稀疏或者近似稀疏的，以將其看作原始信號的一種簡潔表達，這是壓縮感測的先驗條件，即信號必須在某種變換下可以稀疏表示。 通常變換基可以根據信號本身的特點靈活選取， 常用的有離散餘弦變換基、快速傅立葉變換基、離散小波變換基、Curvelet基、Gabor 基 以及冗餘字典等。 在編碼測量中， 首先選擇穩定的投影矩陣，為了確保信號的線性投影能夠保持信號的原始結構， 投影矩陣必須滿足約束等距性 (Restricted isometry property, RIP)條件， 然後通過原始信號與測量矩陣的乘積獲得原始信號的線性投影測量。最後，運用重構算法由測量值及投影矩陣重構原始信號。信號重構過程一般轉換為一個最小L0範數的最佳化問題，求解方法主要有最小L1 範數法、匹配追蹤系列算法、最小全變分方法、疊代閾值算法等。
採樣定理（又稱取樣定理、抽樣定理）是採樣帶限信號過程所遵循的規律，1928年由美國電信工程師H.奈奎斯特首先提出來的，因此稱為奈奎斯特採樣定理。1948年資訊理論的創始人C.E.香農對這一定理加以明確說明並正式作為定理引用，因此在許多文獻中又稱為香農採樣定理。該理論支配著幾乎所有的信號/圖像等的獲取、處理、存儲、傳輸等，即：採樣率不小於最高頻率的兩倍(該採樣率稱作Nyquist採樣率)。該理論指導下的信息獲取、存儲、融合、處理及傳輸等成為信息領域進一步發展的主要瓶頸之一，主要表現在兩個方面：
(1)數據獲取和處理方面。對於單個(幅)信號/圖像，在許多實際套用中(例如，超寬頻通信，超寬頻信號處理，THz成像，核磁共振，空間探測，等等）， Nyquist採樣硬體成本昂貴、獲取效率低下，在某些情況甚至無法實現。為突破Nyquist採樣定理的限制，已發展了一些理論，其中典型的例子為Landau理論， Papoulis等的非均勻採樣理論，M. Vetterli等的 finite rate of innovation信號採樣理論，等。對於多道(或多模式)數據(例如，感測器網路，波束合成，無線通信，空間探測，等)，硬體成本昂貴、信息冗餘及有效信息提取的效率低下，等等。
(2)數據存儲和傳輸方面。通常的做法是先按照Nyquist方式獲取數據，然後將獲得的數據進行壓縮，最後將壓縮後的數據進行存儲或傳輸，顯然，這樣的方式造成很大程度的資源浪費。另外，為保證信息的安全傳輸，通常的加密技術是用某種方式對信號進行編碼，這給信息的安全傳輸和接受帶來一定程度的麻煩。
由D. Donoho(美國科學院院士)、E. Candes(Ridgelet, Curvelet創始人)及華裔科學家T. Tao(2006年菲爾茲獎獲得者，2008年被評為世界上最聰明的科學家)等人提出了一種新的信息獲取指導理論，即，壓縮感知或壓縮感測（Compressive Sensing(CS) or Compressed Sensing、Compressed Sampling）。該理論指出：對可壓縮的信號可通過遠低於Nyquist標準的方式進行採樣數據，仍能夠精確地恢復出原始信號。該理論一經提出，就在資訊理論、信號/圖像處理、醫療成像、模式識別、地質勘探、光學/雷達成像、無線通信等領域受到高度關注，並被美國科技評論評為2007年度十大科技進展。CS理論的研究尚屬於起步階段，但已表現出了強大的生命力，並已發展了分布CS理論(Baron等提出)，1-BIT CS理論(Baraniuk等提出)，Bayesian CS理論(Carin等提出)，無限維CS理論(Elad等提出)，變形CS理論(Meyer等提出)，等等，已成為數學領域和工程套用領域的一大研究熱點。
套用領域
壓縮感測技術是一種抽象的數學概念，而不是具體的操作方案，它可以套用到成像以外的許多領域。以下只是其中幾個例子：
磁共振成像(MRI)：在醫學上，磁共振的工作原理是做許多次（但次數仍是有限的）測量（基本上就是對人體圖像進行離散拉東變換（也叫X光變換）），再對數據進行加工來生成圖像（在這裡就是人體內水的密度分布圖像）。由於測量次數必須很多，整個過程對患者來說太過漫長。壓縮感測技術可以顯著減少測量次數，加快成像（甚至有可能做到實時成像，也就是核磁共振的視頻而非靜態圖像）。此外我們還可以以測量次數換圖像質量，用與原來一樣的測量次數可以得到好得多的圖像解析度。
天文學：許多天文現象（如脈衝星）具有多種頻率震盪特性，使其在頻域上是高度稀疏也就是可壓縮的。壓縮感測技術將使我們能夠在時域內測量這些現象（即記錄望遠鏡數據）並能夠精確重建原始信號，即使原始數據不完整或者干擾嚴重（原因可能是天氣不佳，上機時間不夠，或者就是因為地球自傳使我們得不到全時序的數據）。
線性編碼：壓縮感測技術提供了一個簡單的方法，讓多個傳送者可以將其信號帶糾錯地合併傳送，這樣即使輸出信號的一大部分丟失或毀壞，仍然可以恢復出原始信號。例如，可以用任意一種線性編碼把1000比特信息編碼進一個3000比特的流；那么，即使其中300位被（惡意）毀壞，原始信息也能完全無損失地完美重建。這是因為壓縮感測技術可以把破壞動作本身看作一個稀疏的信號（只集中在3000比特中的300位）。
相關問題
儘管壓縮感測已經在很多領域表現出了超然的優勢，但作為一種新興的理論，CS還有很多有待完善的地方。
比如測量矩陣的設計，怎樣設計測量矩陣使得更符合原始信號的結構特點，並能以最大機率精確重構原始信號，而並非一定要滿足RIP，即要找出充要條件；
比如如何讓實現動態測量，尤其是在硬體實現上；
還有算法的最佳化，如何減少計算量，提高重建速度等等。
