基爾霍夫衍射公式

在光學裡，菲涅耳-基爾霍夫衍射公式（Fresnel-Kirchoff's diffraction formula）可以套用於光波傳播的理論分析模型或數值分析模型。[1][2]從菲涅耳-基爾霍夫衍射公式，可以推導出惠更斯－菲涅耳原理，並且解釋一些惠更斯－菲涅耳原理無法解釋的物理現象與結果。菲涅耳-基爾霍夫衍射公式常被稱為“基爾霍夫衍射公式”（Kirchoff's diffraction formula）。

從基爾霍夫積分定理，在假定一些近似之後，可以推導出菲涅耳-基爾霍夫衍射公式。

基本介紹

• 中文名：基爾霍夫衍射公式
• 外文名：Fresnel-Kirchoff's diffraction formula
• 學科：物理

菲涅耳-基爾霍夫衍射公式

在菲涅耳衍射積分公式提出六十餘年後，古斯塔夫·基爾霍夫用嚴格的數學理論推導出菲涅耳-基爾霍夫衍射公式：

其中， 、 分別是 、 與 之間的夾角。

推論從點光源Q₀發射的單色光波，其波擾的數值大小與傳播距離成反比，在位置 以方程表達為 。又在其發射出的球面波的波前任意位置， 與 同向，夾角 。設定比例常數 ， ，則可得到菲涅耳衍射積分公式。

嚴格導引

點P在閉合曲面 之外。位於點P的波擾 ，可以以位於閉合曲面 的所有波擾與其梯度表達。

基爾霍夫積分定理套用格林第二恆等式來推導出齊次波動方程的解答，這解答是以波動方程在任意閉合曲面 的每一個點的解答和其一階導數來表達。

對於單頻率波，解答為

或者

其中， 、 分別是從點Q₀到點P、點Q的位移矢量， 是在點P的波擾， 是從點Q到點P的位移矢量， 是其數值大小， 是波數， 是對於源位置 的梯度， 是從閉合曲面 向外指出的微小面元素矢量， 是閉合曲面 的法嚮導數。

在推導基爾霍夫衍射公式的過程中，基爾霍夫做了以下假定：

點波源與孔隙之間的距離 超大于波長 。

超大于波長 。

點波源的基爾霍夫衍射

從點波源Q₀發射的單頻率波，其能量與傳播距離平方成反比，波擾的數值大小與傳播距離成反比，在點Q的波擾以方程表達為

其中， 是復值波幅。

假設點P在閉合曲面 之外，套用基爾霍夫積分定理的方程，可以得到在點P的波擾：

其中， 是與 同方向的單位矢量。

注意到球面出射波的梯度為

從基爾霍夫所做的假定， 、 （例如，假設距離大約為1mm，則對於波長在0.4μm至0.7μm之間的可見光，可以做這假定；但對於波長在1mm至1m之間的微波，這假定不適用），則上述兩個公式近似為

所以，在點P的波擾

其中，、分別是、與之間的夾角。

這就是菲涅耳-基爾霍夫衍射公式，或基爾霍夫衍射公式。